Usando as derivadas das funções seno e cosseno, além das regras do produto e da divisão, calcule as derivadas das funções cotg(x) e cossec(x)

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: precisamos achar as derivadas das funções cot(x) e csc(x). Vamos usar que cot(x)=dfraccos(x)sin(x) e csc(x)=dfrac1sin(x), além das derivadas básicas sin'(x)=cos(x) e cos'(x)=-sin(x), e as regras do quociente e da cadeia.

Passo 2

Para derivar cot(x), escrevemos cot(x)=dfracuv com u=cos(x) e v=sin(x). Aplicando a regra do quociente:
l(uvr)'=v,u'-u,v'v^2
Como u'=-sin(x) e v'=cos(x), segue:
(cot(x))'=sin(x),(-sin(x)) - cos(x),cos(x)sin^2(x) = -sin^2(x)+cos^2(x)sin^2(x) = -csc^2(x)

Passo 3

Para derivar csc(x), usamos a forma csc(x)=(sin(x))^-1 e a regra da cadeia. Se f(x)=(sin(x))^-1, então:
f'(x)=-1,(sin(x))^-2cdotcos(x) = -cos(x)sin^2(x) = -cot(x),csc(x)

Resposta

(cot(x))' = -csc^2(x) e (csc(x))' = -cot(x),csc(x).

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