Esboce a região R delimitada pelas curvas e em seguida calcule o volume dos sólidos de revolução obtidos quando giramos a região R entre y=x^2, x=1, x=2 e a parte da reta y=0 com x >= 1 em torno da reta y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=1 a região R limitada por
– a parábola y=x^2,
– as retas verticais x=1 e x=2,
– a reta horizontal y=0 (para x>=1).
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos (lavnes). Vamos usar o Teorema de Pappus na forma de disco com furo, ou seja,
V = pi integralx=1^x=2 l[Rout(x)^2 - Rin(x)^2r],dx

Passo 2

Primeiro esboçamos a região no plano xy:
– A parábola y=x^2 abre para cima,
– as linhas verticais x=1 e x=2 cortam-na,
– a base é a linha y=0 entre x=1 e x=2.
Logo, para cada xin[1,2], y varia de 0 (em baixo) até x^2 (em cima).

Passo 3

Ao girar em torno de y=1, cada fatia vertical em x gera um lavne de raio externo Rout(x) e raio interno Rin(x), com largura dx. A fórmula geral é
V = pi integral1^2 l[Rout(x)^2 - Rin(x)^2r],dx

Passo 4

Em cada x:
– o ponto de cima y=x^2 fica a uma distância vertical de ,|x^2-1| = x^2-1 da reta y=1, pois x^2>=1 em [1,2].
– o ponto de baixo y=0 fica a ,|0-1| = 1 da reta y=1.
Portanto
Rout(x) = x^2 - 1, Rin(x) = 1

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume, temos
V = pi integral1^2 l[(x^2 - 1)^2 - 1^2r],dx = pi integral1^2 l[x^4 - 2x^2 + 1 - 1r],dx = pi integral1^2 l(x^4 - 2x^2r),dx

Passo 6

Calculamos a integral indefinida:
integral l(x^4 - 2x^2r),dx = x^55 - 2x^33 + C

Passo 7

Avaliando de 1 a 2:
em x=2:
2^55 - 2cdot2^33 = 325 - 163 = 96 - 8015 = 1615
em x=1:
1^55 - 2cdot1^33 = 15 - 23 = 3 - 1015 = -715
Diferença:
1615 - l(-tfrac715r) = 2315

Passo 8

Multiplicando por pi, obtemos
V = pi cdot 2315 = 23pi15

Resposta

V = 23pi15

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