Esboce a região
delimitada pelas curvas e em seguida calcule o volume dos sólidos de revolução obtidos quando giramos a região
entre
e a parte da reta
em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta
a região
limitada por
– a parábola ,
– as retas verticais e
,
– a reta horizontal (para
).
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos (lavnes). Vamos usar o Teorema de Pappus na forma de disco com furo, ou seja,
– a parábola
– as retas verticais
– a reta horizontal
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos (lavnes). Vamos usar o Teorema de Pappus na forma de disco com furo, ou seja,
Passo 2
Primeiro esboçamos a região no plano
:
– A parábola abre para cima,
– as linhas verticais e
cortam-na,
– a base é a linha entre
e
.
Logo, para cada ,
varia de
(em baixo) até
(em cima).
– A parábola
– as linhas verticais
– a base é a linha
Logo, para cada
Passo 3
Ao girar em torno de
, cada fatia vertical em
gera um lavne de raio externo
e raio interno
, com largura
. A fórmula geral é
Passo 4
Em cada
:
– o ponto de cima fica a uma distância vertical de
da reta
, pois
em
.
– o ponto de baixo fica a
da reta
.
Portanto
– o ponto de cima
– o ponto de baixo
Portanto
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume, temos
Passo 6
Calculamos a integral indefinida:
Passo 7
Avaliando de
a
:
em :
em
em
:
Diferença:
Passo 8
Multiplicando por
, obtemos