Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
Passo 1
O enunciado dá três retas e pede para esboçar a região limitada por elas e calcular sua área usando integrais duplas. As informações fornecidas são:
- Reta 1:
. - Reta 2:
. - Reta 3:
.
O que se pede:
- Esboçar (visualizar) a região fechada limitada por essas três retas.
- Calcular a área dessa região usando uma ou mais integrais duplas (ou, em prática, uma integral iterada apropriada).
Passo 2
Vamos reescrever cada equação isolando
(isso facilita o esboço e a comparação das alturas para um dado
):
- Da reta 1:
. - Da reta 2:
. - Da reta 3:
.
Explicação didática rápida: escrever as retas na forma
nos permite, para cada abscissa
, identificar qual reta está acima (maior
) e qual está abaixo (menor
). Isso é útil para montar integrais do tipo
.
Passo 3
Encontrar os vértices da região: calcular as interseções pares das retas.
Interseção entre
e
:
Substituindo,
.
Vértice .
Vértice
Passo 4
Interseção entre
e
:
Substituindo,
.
Vértice .
Vértice
Passo 5
Interseção entre
e
:
Substituindo em
:
Vértice
.
Resumo dos vértices (que formam um triângulo):
,
,
.
Passo 6
Descrição da região e escolha do método de integração:
- A projeção do triângulo no eixo
vai de até . - Observando as interseções, para
entre e a aresta inferior é dada por (reta 3) e a aresta superior por (reta 1). - Para
entre e a aresta inferior é dada por (reta 2) e a aresta superior continua sendo .
Portanto, podemos escrever a área
como integral iterada em
:
Explicação didática: a fórmula
vem do fato de que, para cada fatia vertical em
, a área dessa fatia é comprimento vertical
largura
; somando essas fatias (integrando) obtemos a área total.
Passo 7
Calcular a primeira integral. Simplificar o integrando:
Integrando:
Calculemos o valor em cada limite:
Multiplicando por
obtemos
.
Multiplicando por
obtemos
.
Subtraindo:
Passo 8
Calcular a segunda integral. Simplificar o integrando:
Integrando:
Calcule nos limites:
Subtraindo:
Passo 9
Somar as duas contribuições para obter a área total:
Breve comentário amigo: deu trabalho organizar as fatias porque a reta inferior muda em
, por isso dividimos a integral. Esse é o tipo de detalhe que costuma aparecer em prova; manter a cabeça fria, identificar os vértices e as curvas top/bottom e dividir quando necessário resolve.