Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
x-y=-1, 7 x-y=17, 2 x+y=-2

Passo 1

O enunciado dá três retas e pede para esboçar a região limitada por elas e calcular sua área usando integrais duplas. As informações fornecidas são:
  • Reta 1: x-y=-1.
  • Reta 2: 7x-y=17.
  • Reta 3: 2x+y=-2.
O que se pede:
  • Esboçar (visualizar) a região fechada limitada por essas três retas.
  • Calcular a área dessa região usando uma ou mais integrais duplas (ou, em prática, uma integral iterada apropriada).

Passo 2

Vamos reescrever cada equação isolando y (isso facilita o esboço e a comparação das alturas para um dado x):
  • Da reta 1: x-y=-1 \Rightarrow y=x+1.
  • Da reta 2: 7x-y=17 \Rightarrow y=7x-17.
  • Da reta 3: 2x+y=-2 \Rightarrow y=-2x-2.
Explicação didática rápida: escrever as retas na forma y=f(x) nos permite, para cada abscissa x, identificar qual reta está acima (maior y) e qual está abaixo (menor y). Isso é útil para montar integrais do tipo \iint_R dA=\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\big(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\big)\,dx.

Passo 3

Encontrar os vértices da região: calcular as interseções pares das retas.
Interseção entre y=x+1 e y=7x-17:
x+1=7x-17 \Rightarrow -6x=-18 \Rightarrow x=3.
Substituindo, y=3+1=4.
Vértice A=(3,4).

Passo 4

Interseção entre y=x+1 e y=-2x-2:
x+1=-2x-2 \Rightarrow 3x=-3 \Rightarrow x=-1.
Substituindo, y=-1+1=0.
Vértice B=(-1,0).

Passo 5

Interseção entre y=7x-17 e y=-2x-2:
7x-17=-2x-2 \Rightarrow 9x=15 \Rightarrow x=\tfrac{15}{9}=\tfrac{5}{3}.
Substituindo em y=-2x-2:
y=-2\cdot\tfrac{5}{3}-2=-\tfrac{10}{3}-\tfrac{6}{3}=-\tfrac{16}{3}.
Vértice C=\big(\tfrac{5}{3},-\tfrac{16}{3}\big).
Resumo dos vértices (que formam um triângulo): B=(-1,0), C=\big(\tfrac{5}{3},-\tfrac{16}{3}\big), A=(3,4).

Passo 6

Descrição da região e escolha do método de integração:
  • A projeção do triângulo no eixo x vai de x_{\min}=-1 até x_{\max}=3.
  • Observando as interseções, para x entre -1 e \tfrac{5}{3} a aresta inferior é dada por y=-2x-2 (reta 3) e a aresta superior por y=x+1 (reta 1).
  • Para x entre \tfrac{5}{3} e 3 a aresta inferior é dada por y=7x-17 (reta 2) e a aresta superior continua sendo y=x+1.
Portanto, podemos escrever a área A como integral iterada em x:
A=\iint_{R} dA=\int_{x=-1}^{\frac{5}{3}}\big[(x+1)-(-2x-2)\big]\,dx +\int_{x=\frac{5}{3}}^{3}\big[(x+1)-(7x-17)\big]\,dx.
Explicação didática: a fórmula \iint_R dA=\int_{x_a}^{x_b}(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x))\,dx vem do fato de que, para cada fatia vertical em x, a área dessa fatia é comprimento vertical \times largura dx; somando essas fatias (integrando) obtemos a área total.

Passo 7

Calcular a primeira integral. Simplificar o integrando:
(x+1)-(-2x-2)=x+1+2x+2=3x+3=3(x+1).
Integrando:
\int_{-1}^{\frac{5}{3}}3(x+1)\,dx =3\int_{-1}^{\frac{5}{3}}(x+1)\,dx =3\Big[\tfrac{1}{2}x^2+x\Big]_{-1}^{\frac{5}{3}}.
Calculemos o valor em cada limite:
\text{Para }x=\tfrac{5}{3}:\quad \tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{5}{3}\Big)^2+\tfrac{5}{3} =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{25}{9}+\tfrac{5}{3}=\tfrac{25}{18}+\tfrac{30}{18}=\tfrac{55}{18}.
Multiplicando por 3 obtemos \tfrac{165}{18}=\tfrac{55}{6}.
\text{Para }x=-1:\quad \tfrac{1}{2}(-1)^2+(-1)=\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}.
Multiplicando por 3 obtemos -\tfrac{3}{2}=-\tfrac{9}{6}.
Subtraindo:
\text{primeira integral}=\tfrac{55}{6}-\big(-\tfrac{9}{6}\big)=\tfrac{64}{6}=\tfrac{32}{3}.

Passo 8

Calcular a segunda integral. Simplificar o integrando:
(x+1)-(7x-17)=x+1-7x+17=-6x+18= -6(x-3).
Integrando:
\int_{\frac{5}{3}}^{3}(-6x+18)\,dx =\Big[-3x^2+18x\Big]_{\frac{5}{3}}^{3}.
Calcule nos limites:
\text{Para }x=3:\quad -3\cdot 3^2+18\cdot3=-27+54=27.
\text{Para }x=\tfrac{5}{3}:\quad -3\Big(\tfrac{5}{3}\Big)^2+18\cdot\tfrac{5}{3} =-3\cdot\tfrac{25}{9}+30=-\tfrac{75}{9}+30=-\tfrac{25}{3}+30=\tfrac{65}{3}.
Subtraindo:
\text{segunda integral}=27-\tfrac{65}{3}=\tfrac{81-65}{3}=\tfrac{16}{3}.

Passo 9

Somar as duas contribuições para obter a área total:
A=\tfrac{32}{3}+\tfrac{16}{3}=\tfrac{48}{3}=16.
Breve comentário amigo: deu trabalho organizar as fatias porque a reta inferior muda em x=\tfrac{5}{3}, por isso dividimos a integral. Esse é o tipo de detalhe que costuma aparecer em prova; manter a cabeça fria, identificar os vértices e as curvas top/bottom e dividir quando necessário resolve.

Resposta

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