Problema 12.
Use a definição de elipse para encontrar uma equação da elipse cujos focos são
e cujo eixo menor mede 2 unidades.
Passo 1
O enunciado nos dá as coordenadas dos dois focos e a medida do eixo menor. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Focos:
- Medida do eixo menor:
unidades (ou seja, ).
O que o problema pede:
- Encontrar uma equação da elipse que tem esses dois focos e cujo eixo menor mede
.
Observações úteis (só identificação dos dados):
- A distância entre os focos pode ser obtida a partir das coordenadas dadas.
- O centro da elipse é o ponto médio entre os focos.
- Não vou resolver ainda, apenas organizei os dados.
Passo 2
Vou lembrar a definição e as relações básicas da elipse (isso é crucial para resolver o problema na prova).
Definição (em palavras simples): a elipse é o conjunto dos pontos
tais que a soma das distâncias de
aos dois focos é constante. Essa constante é
, onde
é o semieixo maior.
Significados das letras que vou usar:
Relação entre elas (propriedade geométrica padrão): para uma elipse com eixo maior horizontal,
Explicação rápida de onde vem essa relação (passo-a-passo didático):
- Coloca-se o centro da elipse na origem e os focos em
. - O vértice direito é
. Pela definição, a soma das distâncias desse vértice aos dois focos é , consistente. - Considera-se o co-vértice
. A distância de a cada foco é . Pela definição, a soma dessas duas distâncias é , que deve ser igual a . Assim , elevando ao quadrado dá , que é equivalente à relação escrita acima.
Também a forma padrão da equação de uma elipse centrada em
com eixo maior horizontal é
onde
e os focos ficam em
com
.
Passo 3
Calcular o centro da elipse e a quantidade
(distância do centro a cada foco), a partir dos focos dados.
-
Centro: ponto médio entre
e . Entãoe . -
Distância entre os focos: é a distância entre
e , que é . Como essa distância é , obtemos (Resumo: peguei a coordenada dos focos do enunciado e calculei o ponto médio e a distância.)
Passo 4
Determinar
a partir da medida do eixo menor.
O enunciado diz que o eixo menor mede
. Isso significa que
, portanto
Passo 5
Calcular
usando a relação entre
.
Usando a relação
(vista no Passo 2), substituo os valores encontrados:
Portanto
(escolhemos a raiz positiva porque
).
Passo 6
Montar a equação padrão da elipse centrada em
com
e
.
A forma padrão (relembrando) é
Aqui
,
,
,
. Vou deixar a escrita final concentrada na seção de resposta, conforme pedido.
Passo 7
Checagem rápida (consistência):
- Focos esperados a partir da equação padrão são
, que coincide com os focos dados. - Semieixos: semieixo maior
(maior que ), semieixo menor vertical , o que corresponde ao enunciado. Tudo consistente.
Resposta
ou, de forma simplificada,