Problema 12.

Use a definição de elipse para encontrar uma equação da elipse cujos focos são
F_{1}=(2,2) \quad \text { e } \quad F_{2}=(-2,2),
e cujo eixo menor mede 2 unidades.

Passo 1

O enunciado nos dá as coordenadas dos dois focos e a medida do eixo menor. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Focos: F_{1}=(2,2),\qquad F_{2}=(-2,2).
  • Medida do eixo menor: 2 unidades (ou seja, 2b=2).
O que o problema pede:
  • Encontrar uma equação da elipse que tem esses dois focos e cujo eixo menor mede 2.
Observações úteis (só identificação dos dados):
  • A distância entre os focos pode ser obtida a partir das coordenadas dadas.
  • O centro da elipse é o ponto médio entre os focos.
  • Não vou resolver ainda, apenas organizei os dados.

Passo 2

Vou lembrar a definição e as relações básicas da elipse (isso é crucial para resolver o problema na prova).
Definição (em palavras simples): a elipse é o conjunto dos pontos P tais que a soma das distâncias de P aos dois focos é constante. Essa constante é 2a, onde a>0 é o semieixo maior.
Significados das letras que vou usar:
a = \text{semieixo maior},\qquad b = \text{semieixo menor},\qquad c = \text{distância do centro a cada foco}.â
Relação entre elas (propriedade geométrica padrão): para uma elipse com eixo maior horizontal,
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Explicação rápida de onde vem essa relação (passo-a-passo didático):
  • Coloca-se o centro da elipse na origem e os focos em (\pm c,0).
  • O vértice direito é (a,0). Pela definição, a soma das distâncias desse vértice aos dois focos é (a-c)+(a+c)=2a, consistente.
  • Considera-se o co-vértice (0,b). A distância de (0,b) a cada foco é \sqrt{c^{2}+b^{2}}. Pela definição, a soma dessas duas distâncias é 2\sqrt{c^{2}+b^{2}}, que deve ser igual a 2a. Assim \sqrt{c^{2}+b^{2}}=a, elevando ao quadrado dá a^{2}=b^{2}+c^{2}, que é equivalente à relação escrita acima.
Também a forma padrão da equação de uma elipse centrada em (h,k) com eixo maior horizontal é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
onde a>b>0 e os focos ficam em (h\pm c,k) com c^{2}=a^{2}-b^{2}.

Passo 3

Calcular o centro da elipse e a quantidade c (distância do centro a cada foco), a partir dos focos dados.
  • Centro: ponto médio entre F_{1} e F_{2}.
    \text{centro }(h,k)=\left(\frac{2+(-2)}{2},\;\frac{2+2}{2}\right)= (0,2).
    Então h=0 e k=2.
  • Distância entre os focos: é a distância entre (2,2) e (-2,2), que é 4. Como essa distância é 2c, obtemos
    2c=4\quad\Rightarrow\quad c=2.
    (Resumo: peguei a coordenada dos focos do enunciado e calculei o ponto médio e a distância.)

Passo 4

Determinar b a partir da medida do eixo menor.
O enunciado diz que o eixo menor mede 2. Isso significa que 2b=2, portanto
b=1.

Passo 5

Calcular a usando a relação entre a,b,c.
Usando a relação a^{2}=b^{2}+c^{2} (vista no Passo 2), substituo os valores encontrados:
a^{2}=1^{2}+2^{2}=1+4=5.
Portanto a=\sqrt{5} (escolhemos a raiz positiva porque a>0).

Passo 6

Montar a equação padrão da elipse centrada em (h,k)=(0,2) com a^{2}=5 e b^{2}=1.
A forma padrão (relembrando) é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1.
Aqui h=0, k=2, a^{2}=5, b^{2}=1. Vou deixar a escrita final concentrada na seção de resposta, conforme pedido.

Passo 7

Checagem rápida (consistência):
  • Focos esperados a partir da equação padrão são (h\pm c,k)=(0\pm 2,2)=(\pm2,2), que coincide com os focos dados.
  • Semieixos: semieixo maior a=\sqrt{5} (maior que b=1), semieixo menor vertical b=1, o que corresponde ao enunciado. Tudo consistente.

Resposta

\frac{(x-0)^{2}}{5}+\frac{(y-2)^{2}}{1}=1
ou, de forma simplificada,
\frac{x^{2}}{5}+(y-2)^{2}=1.

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