Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região delimitada pelos gráficos e calcular a área dessa região usando uma ou mais integrais duplas. As curvas dadas são:
-
, -
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As duas curvas são simétricas em relação ao eixo
(pois dependem de ). - A região buscada é a interseção entre as áreas “abaixo” da curva de cima e “acima” da curva de baixo — é necessário determinar onde uma curva fica acima da outra e os pontos de interseção entre elas.
Passo 2
Encontrar as interseções das curvas para saber os limites em
. As interseções satisfazem
Para resolver, defina
(então
). A equação fica
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Esta é uma equação quadrática. Aplicando a fórmula de Bhaskara para
(com
,
,
):
Como
, escolhemos a raiz positiva:
Voltando a
, temos as interseções em
Denotando
os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Determinar qual curva é a “superior” entre
e
. Basta verificar em um ponto interno, por exemplo
:
Como
, a curva
está acima de
no intervalo entre as interseções. Portanto a região delimitada é o conjunto
Observação geométrica útil: as duas curvas são simétricas em relação ao eixo
, então podemos calcular a área apenas para
e multiplicar por
.
Passo 4
Explicar a integral dupla que representa a área: a área de uma região
no plano pode ser escrita como
Para nossa região
descrita em coordenadas cartesianas, uma escrita conveniente é
Usando a simetria (região par em
), simplificamos para
Passo 5
Avaliar a integral interna em
. A integral interna de
em
entre os limites dados é simplesmente a diferença dos limites superiores e inferiores:
Substituindo na integral externa:
Passo 6
Calcular a primitiva (explicar as antiderivadas):
- A antiderivada de
é . Explicação rápida: a derivada de é , portanto é a primitiva correta. - A antiderivada de
é (pois derivando volta-se a ).
Logo,
Multiplicando por
,
Passo 7
Substituir
para obter a expressão final exata. Lembrando que
, obtemos
Passo 8
Dar uma aproximação numérica para facilitar a intuição (opcional para a prova, a forma exata acima é aceita). Calculando numericamente: