Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
y=x^{2}, y=1 /\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região delimitada pelos gráficos e calcular a área dessa região usando uma ou mais integrais duplas. As curvas dadas são:
  • y=x^{2},
  • y=\dfrac{1}{x^{2}+1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As duas curvas são simétricas em relação ao eixo y (pois dependem de x^{2}).
  • A região buscada é a interseção entre as áreas “abaixo” da curva de cima e “acima” da curva de baixo — é necessário determinar onde uma curva fica acima da outra e os pontos de interseção entre elas.

Passo 2

Encontrar as interseções das curvas para saber os limites em x. As interseções satisfazem
x^{2}=\frac{1}{x^{2}+1}.
Para resolver, defina t=x^{2} (então t\ge0). A equação fica
t=\frac{1}{t+1}.
Multiplicando ambos os lados por t+1 obtemos
t(t+1)=1\quad\Rightarrow\quad t^{2}+t-1=0.
Esta é uma equação quadrática. Aplicando a fórmula de Bhaskara para t^{2}+t-1=0 (com a=1, b=1, c=-1):
t=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como t\ge0, escolhemos a raiz positiva:
t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
Voltando a x, temos as interseções em
x=\pm\sqrt{t}=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.
Denotando
a=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},
os pontos de interseção são x=-a e x=+a.

Passo 3

Determinar qual curva é a “superior” entre -a e a. Basta verificar em um ponto interno, por exemplo x=0:
y_{1}(0)=0^{2}=0,\qquad y_{2}(0)=\frac{1}{0^{2}+1}=1.
Como 1>0, a curva y=\dfrac{1}{x^{2}+1} está acima de y=x^{2} no intervalo entre as interseções. Portanto a região delimitada é o conjunto
R=\{(x,y)\mid -a\le x\le a,\; x^{2}\le y\le \tfrac{1}{x^{2}+1}\}.
Observação geométrica útil: as duas curvas são simétricas em relação ao eixo y, então podemos calcular a área apenas para x\in[0,a] e multiplicar por 2.

Passo 4

Explicar a integral dupla que representa a área: a área de uma região R no plano pode ser escrita como
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\\ dA.Á
Para nossa região R descrita em coordenadas cartesianas, uma escrita conveniente é
\text{Área}=\int_{x=-a}^{a}\int_{y=x^{2}}^{y=\frac{1}{x^{2}+1}} 1\; dy\,dx.Á
Usando a simetria (região par em x), simplificamos para
\text{Área}=2\int_{x=0}^{a}\int_{y=x^{2}}^{y=\frac{1}{x^{2}+1}} 1\; dy\,dx.Á

Passo 5

Avaliar a integral interna em y. A integral interna de 1 em y entre os limites dados é simplesmente a diferença dos limites superiores e inferiores:
\int_{y=x^{2}}^{y=\frac{1}{x^{2}+1}} 1\; dy=\frac{1}{x^{2}+1}-x^{2}.
Substituindo na integral externa:
\text{Área}=2\int_{0}^{a}\left(\frac{1}{x^{2}+1}-x^{2}\right)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a primitiva (explicar as antiderivadas):
  • A antiderivada de \dfrac{1}{x^{2}+1} é \arctan x. Explicação rápida: a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}, portanto é a primitiva correta.
  • A antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3} (pois derivando \dfrac{x^{3}}{3} volta-se a x^{2}).
Logo,
\int_{0}^{a}\left(\frac{1}{x^{2}+1}-x^{2}\right)\,dx=\left[\arctan x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a}=\arctan a-\frac{a^{3}}{3}.
Multiplicando por 2,
\text{Área}=2\left(\arctan a-\frac{a^{3}}{3}\right).Á

Passo 7

Substituir a=\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}} para obter a expressão final exata. Lembrando que a^{3}=\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{3/2}, obtemos
\text{Área}=2\left[\arctan\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\right)-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{3/2}\right].Á

Passo 8

Dar uma aproximação numérica para facilitar a intuição (opcional para a prova, a forma exata acima é aceita). Calculando numericamente:
\text{Área}\approx 1{,}00809.Á

Resposta

\text{Área}=2\left[\arctan\!\left(\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\right)-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{3/2}\right]\approx1{,}00809Á

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