Sejam os pontos A=(-1,0), B=(1,0) e a reta r definida por \mathrm{x}+1=0. Esboce os seguintes conjuntos:
C_{1}=\left\{P \in \mathbb{R}^{2} \mid d(A, P)+d(P, B)=4\right\};

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois pontos fixos A=(-1,0) e B=(1,0).
  • O conjunto pedido é
C_{1}=\{P\in\mathbb{R}^2 \mid d(A,P)+d(P,B)=4\}.
O que se pede: esboçar (desenhar/identificar geometricamente) o conjunto C_{1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As distâncias envolvidas são as distâncias euclidianas usuais no plano.
  • O valor constante da soma das distâncias é 4.
  • As coordenadas de A e B mostram que a distância entre os focos A e B é \,d(A,B)=2.

Passo 2

Vamos traduzir o problema para cálculo algébrico (isso nos ajuda a obter a equação do lugar geométrico).
Escolho um ponto arbitrário P=(x,y). A distância euclidiana entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
d\big((x_1,y_1),(x_2,y_2)\big)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.
Aplicando ao nosso caso:
d(A,P)=\sqrt{(x+1)^2+y^2},\qquad d(B,P)=\sqrt{(x-1)^2+y^2}.
A condição do conjunto C_{1} vira a equação
\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}=4.

Passo 3

Interpretação geométrica rápida e verificação de existência: pontos cujo soma das distâncias a dois pontos fixos é constante formam, por definição, uma elipse sempre que essa constante seja maior que a distância entre os focos. Aqui a distância entre A e B é
d(A,B)=\sqrt{(1-(-1))^2+(0-0)^2}=\sqrt{4}=2,
e a soma dada é 4>2. Portanto o conjunto esperado é uma elipse não degenerada com focos em A e B. Agora vamos obter a equação canônica algébrica para identificar centro, semi-eixos, vértices e assim esboçar.

Passo 4

Isolamos uma raiz e eliminamos radicais passo a passo (faça isso com calma na prova, justificando que as manipulações são válidas porque as raízes são não negativas).
Começamos com
\sqrt{(x+1)^2+y^2}=4-\sqrt{(x-1)^2+y^2}.
Quadrando ambos os lados:
(x+1)^2+y^2=16-8\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\big((x-1)^2+y^2\big).
Repare que o termo y^2 aparece em ambos os lados e se simplifica; também expandimos os quadrados:
(x+1)^2=(x-1)^2+16-8\sqrt{(x-1)^2+y^2}.
Expandindo (x+1)^2=x^2+2x+1 e (x-1)^2=x^2-2x+1 e simplificando x^2 e +1, obtemos
2x = 16 -8\sqrt{(x-1)^2+y^2}-2x.
Reagrupando termos:
4x = 16 -8\sqrt{(x-1)^2+y^2}.
Isolando a raiz:
\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2-\frac{x}{2}.
Observação importante: o lado direito deve ser não negativo, o que imporá limites em x (vamos ver isso depois).

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado novamente para eliminar a raiz:
(x-1)^2+y^2=\left(2-\frac{x}{2}\right)^2.
Expandindo os dois lados:
x^2-2x+1+y^2=4-2x+\frac{x^2}{4}.
Multiplicando tudo por 4 para evitar frações:
4x^2-8x+4+4y^2=16-8x+x^2.
Passando tudo para um lado e simplificando:
4x^2-8x+4+4y^2-16+8x-x^2=0
3x^2+4y^2-12=0.
Isolando em forma de equação padrão de elipse:
3x^2+4y^2=12.
Dividindo por 12:
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.

Passo 6

Interpretação da equação obtida:
  • A equação \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 é uma elipse centrada na origem (0,0).
  • Os semi-eixos são \;a=\sqrt{4}=2 (semi-eixo maior ao longo do eixo x) e \;b=\sqrt{3} (semi-eixo menor ao longo do eixo y).
  • Vértices (extremos do eixo maior): \;(\pm 2,0).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor): \;(0,\pm\sqrt{3}).
  • A constante a satisfaz a^2=4 e b^2=3. O parâmetro c (distância do centro aos focos) satisfaz c^2=a^2-b^2=4-3=1, logo c=1. Portanto os focos estão em (\pm 1,0), que são exatamente os pontos A e B do enunciado — consistência confirmada.
  • Verificação da restrição anterior: a raiz isolada exigia 2-\dfrac{x}{2}\ge 0, isto é x\le 4. Mas a elipse encontrada tem x entre -2 e 2, então essa restrição é satisfeita automaticamente.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar na prova, sem calculadora):
  1. Marque o centro em (0,0).
  2. Marque os vértices em (2,0) e (-2,0).
  3. Marque os co-vértices em (0,\sqrt{3}) e (0,-\sqrt{3}). Lembre-se que \sqrt{3}\approx1,732, então estes pontos ficam entre 1 e 2 no eixo y.
  4. Desenhe a elipse passando suavemente por esses quatro pontos, alongada no sentido horizontal.
  5. Opcional: marque os focos em (1,0) e (-1,0) — eles coincidem com B e A, respectivamente.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1
Centro: (0,0)
Semi-eixos: a=2,\;b=\sqrt{3}
Vértices: (\pm 2,0)
Focos: (\pm 1,0)

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