Sejam os pontos
e a reta
definida por
. Esboce os seguintes conjuntos:
;
Passo 1
O enunciado dá:
- Dois pontos fixos
e . - O conjunto pedido é
O que se pede: esboçar (desenhar/identificar geometricamente) o conjunto
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As distâncias envolvidas são as distâncias euclidianas usuais no plano.
- O valor constante da soma das distâncias é
. - As coordenadas de
e mostram que a distância entre os focos e é .
Passo 2
Vamos traduzir o problema para cálculo algébrico (isso nos ajuda a obter a equação do lugar geométrico).
Escolho um ponto arbitrário . A distância euclidiana entre dois pontos
e
é dada por
Escolho um ponto arbitrário
Aplicando ao nosso caso:
A condição do conjunto
vira a equação
Passo 3
Interpretação geométrica rápida e verificação de existência: pontos cujo soma das distâncias a dois pontos fixos é constante formam, por definição, uma elipse sempre que essa constante seja maior que a distância entre os focos. Aqui a distância entre
e
é
e a soma dada é
. Portanto o conjunto esperado é uma elipse não degenerada com focos em
e
. Agora vamos obter a equação canônica algébrica para identificar centro, semi-eixos, vértices e assim esboçar.
Passo 4
Isolamos uma raiz e eliminamos radicais passo a passo (faça isso com calma na prova, justificando que as manipulações são válidas porque as raízes são não negativas).
Começamos com
Começamos com
Quadrando ambos os lados:
Repare que o termo
aparece em ambos os lados e se simplifica; também expandimos os quadrados:
Expandindo
e
e simplificando
e
, obtemos
Reagrupando termos:
Isolando a raiz:
Observação importante: o lado direito deve ser não negativo, o que imporá limites em
(vamos ver isso depois).
Passo 5
Agora elevamos ao quadrado novamente para eliminar a raiz:
Expandindo os dois lados:
Multiplicando tudo por
para evitar frações:
Passando tudo para um lado e simplificando:
Isolando em forma de equação padrão de elipse:
Dividindo por
:
Passo 6
Interpretação da equação obtida:
- A equação
é uma elipse centrada na origem . - Os semi-eixos são
(semi-eixo maior ao longo do eixo ) e (semi-eixo menor ao longo do eixo ). - Vértices (extremos do eixo maior):
. - Co-vértices (extremos do eixo menor):
. - A constante
satisfaz e . O parâmetro (distância do centro aos focos) satisfaz , logo . Portanto os focos estão em , que são exatamente os pontos e do enunciado — consistência confirmada. - Verificação da restrição anterior: a raiz isolada exigia
, isto é . Mas a elipse encontrada tem entre e , então essa restrição é satisfeita automaticamente.
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar na prova, sem calculadora):
- Marque o centro em
. - Marque os vértices em
e . - Marque os co-vértices em
e . Lembre-se que , então estes pontos ficam entre e no eixo . - Desenhe a elipse passando suavemente por esses quatro pontos, alongada no sentido horizontal.
- Opcional: marque os focos em
e — eles coincidem com e , respectivamente.
Resposta
Centro:
Semi-eixos:
Vértices:
Focos: