Num país distante, a moeda do sistema monetário é o Paus. Nesse sistema monetário, existem cédulas de P 2, 00 (dois paus), P 3,00 (três paus) e P 5,00 (cinco paus). Com relação às afirmações: I. Sendo permitido oferecer troco, qualquer valor inteiro em paus, pode ser pago usando somente cédulas de \(\mathrm{P} \\) 2,00\(e\)\mathrm{P} \$5,00.
II. Sendo permitido oferecer troco, qualquer valor inteiro em paus, pode ser pago usando somente cédulas de P 3,00 e R5,00.
III. Qualquer valor inteiro em paus, pode ser pago usando somente as cédulas de \mathrm{P} \ 2,00 e\mathrm{P} $3,00$ sem a necessidade de oferecer nenhum troco.
Podemos afirmar que:
A) Apenas a afirmativa I é correta
B) Apenas a afirmativa II é correta
C) Apenas as afirmativas I e II são corretas
D) Apenas as afirmativas I e III são corretas
E) As afirmativas I, II e II são corretas

Passo 1

O enunciado dá as cédulas de \text{P\$}2, \text{P\$}3 e \text{P\$}5 e pede para analisar três afirmações sobre quais valores inteiros podem ser pagos usando certas cédulas, com ou sem troco. Vamos usar combinações lineares de inteiros (teorema de Bézout) para casos com troco e o problema de Frobenius para caso sem troco.

Passo 2

Afirmativa I: com troco, pagar qualquer inteiro só com \text{P\$}2 e \text{P\$}5.
Se der a cédulas de 2 e b de 5 e receber de troco c de 2 e d de 5, o valor líquido é
n=2(a-c)+5(b-d).
Como \gcd(2,5)=1, todo inteiro n admite essa combinação, logo I é verdadeira.

Passo 3

Afirmativa II: com troco, pagar qualquer inteiro só com \text{P\$}3 e \text{P\$}5.
Analogamente, o valor líquido é
n=3(a-c)+5(b-d),
e como \gcd(3,5)=1, todo inteiro n é combinação inteira de 3 e 5. Logo II é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa III: sem troco, pagar qualquer inteiro só com \text{P\$}2 e \text{P\$}3.
Aqui buscamos
n=2x+3y,\quad x,y\ge0.
Pelo problema de Frobenius, o maior inteiro não representável é 2\cdot3-2-3=1. Como 1 não pode ser pago, nem todo inteiro é alcançável, de modo que III é falsa.

Passo 5

Somente I e II são corretas.

Resposta

C) Apenas as afirmativas I e II são corretas

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