Num país distante, a moeda do sistema monetário é o Paus. Nesse sistema monetário, existem cédulas de P
3,00 (três paus) e P
.
II. Sendo permitido oferecer troco, qualquer valor inteiro em paus, pode ser pago usando somente cédulas de P
5,00.
III. Qualquer valor inteiro em paus, pode ser pago usando somente as cédulas de
2,00
\mathrm{P} $3,00$ sem a necessidade de oferecer nenhum troco.
Podemos afirmar que:
A) Apenas a afirmativa I é correta
B) Apenas a afirmativa II é correta
C) Apenas as afirmativas I e II são corretas
D) Apenas as afirmativas I e III são corretas
E) As afirmativas I, II e II são corretas
II. Sendo permitido oferecer troco, qualquer valor inteiro em paus, pode ser pago usando somente cédulas de P
III. Qualquer valor inteiro em paus, pode ser pago usando somente as cédulas de
Podemos afirmar que:
A) Apenas a afirmativa I é correta
B) Apenas a afirmativa II é correta
C) Apenas as afirmativas I e II são corretas
D) Apenas as afirmativas I e III são corretas
E) As afirmativas I, II e II são corretas
Passo 1
O enunciado dá as cédulas de
,
e
e pede para analisar três afirmações sobre quais valores inteiros podem ser pagos usando certas cédulas, com ou sem troco. Vamos usar combinações lineares de inteiros (teorema de Bézout) para casos com troco e o problema de Frobenius para caso sem troco.
Passo 2
Afirmativa I: com troco, pagar qualquer inteiro só com
e
.
Se der cédulas de 2 e
de 5 e receber de troco
de 2 e
de 5, o valor líquido é
Se der
Como
, todo inteiro
admite essa combinação, logo I é verdadeira.
Passo 3
Afirmativa II: com troco, pagar qualquer inteiro só com
e
.
Analogamente, o valor líquido é
Analogamente, o valor líquido é
e como
, todo inteiro
é combinação inteira de 3 e 5. Logo II é verdadeira.
Passo 4
Afirmativa III: sem troco, pagar qualquer inteiro só com
e
.
Aqui buscamos
Aqui buscamos
Pelo problema de Frobenius, o maior inteiro não representável é
. Como
não pode ser pago, nem todo inteiro é alcançável, de modo que III é falsa.
Passo 5
Somente I e II são corretas.
Resposta
C) Apenas as afirmativas I e II são corretas