Esboce a região descrita em cada item e calcule sua área.
R é o conjunto do plano limitado pela reta y=0 e pelo gráfico de y=3-2 x-x^{2}, com -1 \leq x \leq 1;

Passo 1

O enunciado nos pede esboçar e calcular a área da região R limitada por
– a reta y=0,
– o gráfico da parábola y=3-2x - x^2,
– e as linhas verticais x=-1 e x=1.
O conteúdo necessário é o cálculo de área entre curvas, que usa a integração definida
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx,
onde aqui f(x)=3-2x-x^2 e g(x)=0, de a=-1 a b=1.

Passo 2

Vamos esboçar a região. A função f(x)=3-2x-x^2 é uma parábola voltada para baixo com vértice em
x_v = -\frac{-2}{2\cdot(-1)} = -1,\quad y_v = 3 - 2(-1) - (-1)^2 = 4,
e intercepta o eixo y=0 em x=1 e x=-3. Como o domínio está restrito a -1\le x\le1, a curva vai de (-1,4) até (1,0). A região R fica abaixo da parábola, acima de y=0, entre x=-1 e x=1.

Passo 3

Como em [-1,1] temos f(x)\ge0, a área de R é
A = \int_{-1}^{1}\bigl(3 - 2x - x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de 3-2x-x^2:
F(x) = \int\bigl(3 - 2x - x^2\bigr)\,dx = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3}.
A área é
A = F(1) - F(-1).
Calculando:
F(1) = 3\cdot1 - 1^2 - \frac{1^3}{3} = 3 - 1 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3},
F(-1) = 3\cdot(-1) - (-1)^2 - \frac{(-1)^3}{3} = -3 - 1 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3}.
Logo,
A = \frac{5}{3} - \bigl(-\tfrac{11}{3}\bigr) = \frac{16}{3}.

Resposta

\frac{16}{3}

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