Utilize as identidades trigonométricas a seguir para responder os itens a seguir
\begin{aligned} \cos (a+b) & =\cos a \cdot \cos b-\sin a \cdot \sin b \\\ \cos (a-b) & =\cos a \cdot \cos b+\sin a \cdot \sin b \\\ \sin (a+b) & =\sin a \cdot \cos b+\sin b \cdot \cos a \\\ \sin (a-b) & =\sin a \cdot \cos b-\sin b \cos a \end{aligned}
a) Calcule as integrais indefinidas a seguir.
i) \int \sin (2 x) \cdot \cos x d x
ii) \int \sin (3 x) \sin (2 x) d x
b) Utilize o Teorema fundamental do Cálculo para encontrar
g(t)=\frac{d}{d t}\left[\int_{0}^{t / 2} \sin (2 x) \cdot \cos (x) d x\right]
(Dica: Escreva \sin (2 x)=\sin (x+x)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas de produtos de funções trigonométricas usando identidades de soma de ângulos e, em seguida, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar uma integral com limite superior variável. Vamos usar as identidades fornecidas, técnicas de substituição e o FToC.

Passo 2

Para
\int \sin(2x)\cos x\,dx
use que \sin(2x)=2\sin x\cos x, de modo que o integrando fica
2\sin x\cos^2 x.
Fazendo u=\cos x implica du=-\sin x\,dx. Logo
\int 2\sin x\cos^2 x\,dx = -2\int u^2\,du = -\frac{2u^3}{3}+C = -\frac{2\cos^3 x}{3}+C.

Passo 3

Para
\int \sin(3x)\sin(2x)\,dx
use a identidade
\sin a\,\sin b=\tfrac12\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr].
Assim
\int \sin(3x)\sin(2x)\,dx =\frac12\int\bigl[\cos x-\cos(5x)\bigr]\,dx =\frac12\Bigl(\sin x-\frac{\sin(5x)}{5}\Bigr)+C.

Passo 4

Para
g(t)=\frac{d}{dt}\biggl[\int_{0}^{t/2}\sin(2x)\cos x\,dx\biggr]
aplique o Teorema Fundamental do Cálculo com limite superior u=t/2. Então
g(t) =\sin\bigl(2\cdot\tfrac{t}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{t}{2}\Bigr) =\sin(t)\cos\Bigl(\tfrac{t}{2}\Bigr)\cdot\frac12.

Resposta

i) -\tfrac{2\cos^3 x}{3}+C.
ii) \tfrac12\bigl(\sin x-\tfrac{\sin(5x)}{5}\bigr)+C.
b) g(t)=\tfrac12\sin(t)\cos\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr).

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