Esboce a região descrita e cálcule sua área.
R é a região delimitada pelo gráfico de f(x)=x^3, e as retas x=-2 e x=2;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva f(x)=x³, pelas retas x=–2 e x=2 e pelo eixo x. Vamos esboçar mentalmente o gráfico: a curva passa por (–2,–8), (0,0) e (2,8), as retas verticais x=–2 e x=2 e o eixo x formam a base da região.

Passo 2

A curva f(x)=x³ cruza o eixo x em x=0, então no intervalo [–2,0] a função é negativa e em [0,2] é positiva. Isso significa que, para calcular a área, precisamos usar valor absoluto de f(x) e separar os integrais nesses dois subintervalos.
Pela definição de área entre curva e eixo x, temos
Área = integral-2^2 |x^3| ,dx = integral-2^0 -x^3 ,dx + integral0^2 x^3 ,dxÁ

Passo 3

Calculemos cada integral. Para a parte negativa:
integral-2^0 -x^3 ,dx = -x^44 |-2^0 = -l(0 - (-2)^44r) = 164 = 4 Para a parte positiva:
integral0^2 x^3 ,dx = x^44 |0^2 = 164 = 4

Passo 4

Somando as duas partes, a área total é 4 + 4 = 8.

Resposta

8

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