Mostre que, com as operações usuais, R^n e Mm times n(R) são espaços vetoriais reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, tanto R^n como Mmtimes n(R) satisfazem os axiomas de um espaço vetorial sobre R. Precisaremos apenas usar o fato de que a adição e a multiplicação por escalar em cada coordenada (ou em cada entrada) herdam as propriedades já válidas em R.

Passo 2

Definimos em R^n
(x1,dots,xn)+(y1,dots,yn)=(x1+y1,dots,xn+yn),
alpha,(x1,dots,xn)=(alpha x1,dots,alpha xn)
Como em R a adição é fechada, associativa e comutativa, segue-se imediatamente que em R^n temos para quaisquer u,v,winR^n e quaisquer alpha,betainR:
(u+v)+w = u+(v+w),
u+v=v+u,
e o somatório de vetores está fechado em R^n.

Passo 3

Em R^n o vetor nulo é
0=(0,0,dots,0),
pois u+0=u para todo u. E o inverso aditivo de u=(x1,dots,xn) é
-,u=(-x1,dots,-xn),
porque u+(-u)=0. Logo existem identidade e inversos aditivos.

Passo 4

Ainda em R^n, para multiplicação por escalar temos, usando propriedades em R:
alpha(u+v)=alpha u+alpha v,
(alpha+beta)u=alpha u+beta u,
(alphabeta)u=alpha(beta u),
e 1,u=u. Todas as igualdades valem coordenada a coordenada por herança das leis distributiva, associativa e existência de elemento neutro em R. Assim, R^n satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial real.

Passo 5

Em Mmtimes n(R) definimos a adição e multiplicação por escalar também entrada a entrada: se A=(aij) e B=(bij) então
A+B=(aij+bij),
alpha A=(alpha,aij)
Como cada aij,bijinR e as operações em R satisfazem os mesmos axiomas usados acima, conclui-se analogamente que Mmtimes n(R) é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Ambos R^n e Mmtimes n(R), com as operações usuais definidas coordenada (ou entrada) a coordenada, satisfazem os oito axiomas de espaço vetorial sobre R, logo são espaços vetoriais reais.

Exercícios relacionados