Mostre que, com as operações usuais,
e
são espaços vetoriais reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, tanto
como
satisfazem os axiomas de um espaço vetorial sobre
. Precisaremos apenas usar o fato de que a adição e a multiplicação por escalar em cada coordenada (ou em cada entrada) herdam as propriedades já válidas em
.
Passo 2
Definimos em
Como em
a adição é fechada, associativa e comutativa, segue-se imediatamente que em
temos para quaisquer
e quaisquer
:
,
,
e o somatório de vetores está fechado em .
e o somatório de vetores está fechado em
Passo 3
Em
o vetor nulo é
pois
para todo
. E o inverso aditivo de
é
porque
. Logo existem identidade e inversos aditivos.
Passo 4
Ainda em
, para multiplicação por escalar temos, usando propriedades em
:
,
,
,
e . Todas as igualdades valem coordenada a coordenada por herança das leis distributiva, associativa e existência de elemento neutro em
. Assim,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial real.
e
Passo 5
Em
definimos a adição e multiplicação por escalar também entrada a entrada: se
e
então
Como cada
e as operações em
satisfazem os mesmos axiomas usados acima, conclui-se analogamente que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Ambos
e
, com as operações usuais definidas coordenada (ou entrada) a coordenada, satisfazem os oito axiomas de espaço vetorial sobre
, logo são espaços vetoriais reais.