Seja V um espaço vetorial real. Mostre as seguintes propriedades:
alpha 0V=0V, para todo alpha in R;
(alpha-beta) v=alpha v-beta v, para quaisquer alpha, beta in R e qualquer v in V;
alpha(u-v)=alpha u-alpha v, para quaisquer alpha in R e u, v in V.

Passo 1

O enunciado pede para provar em um espaço vetorial real V três identidades envolvendo multiplicação por escalar e soma de vetores. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial, em especial:
  1. Distributividade do escalar em relação à soma de vetores:
alpha (u + w) = alpha u + alpha w
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
(alpha + beta) v = alpha v + beta v
  1. Existência de inverso aditivo em V e em R.

Passo 2

Para mostrar alpha 0V = 0V, use a distributividade do escalar sobre a soma de vetores com 0V + 0V:
alpha(0V+0V) = alpha0V + alpha0V
Mas 0V+0V=0V, logo
alpha0V = alpha0V + alpha0V
Somando o inverso aditivo de alpha0V em ambos os lados, obtemos
0V = alpha0V,
que é exatamente o que queríamos.

Passo 3

Para (alpha-beta)v = alpha v - beta v, comece usando a distributividade em (alpha-beta)+beta:
l((alpha-beta)+betar)v = (alpha-beta)v + beta v
Como (alpha-beta)+beta=alpha, o lado esquerdo é alpha v. Portanto
alpha v = (alpha-beta)v + beta v
Bastando então somar o inverso aditivo de beta v em ambos os lados, concluímos
(alpha-beta)v = alpha v - beta v

Passo 4

Como caso particular do passo anterior, com alpha=0 e beta=1, obtemos
(0-1)v = 0cdot v - 1cdot v Longrightarrow (-1)v = 0V - v = -v

Passo 5

Para provar alpha(u-v)=alpha u-alpha v, note que u-v = u + (-v). Então, pela distributividade do escalar sobre soma de vetores,
alpha(u + (-v)) = alpha u + alpha(-v)
Mas alpha(-v) = alphal((-1)vr) = (alphacdot(-1))v = (-alpha)v, e do passo 3 com alpha'=0 e beta'=alpha temos (-alpha)v = -(alpha v). Logo
alpha(u-v) = alpha u + (-alpha)v = alpha u - alpha v

Resposta

As três propriedades foram demonstradas.

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