Seja
um espaço vetorial real. Mostre as seguintes propriedades:
, para todo
;
, para quaisquer
e qualquer
;
, para quaisquer
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar em um espaço vetorial real
três identidades envolvendo multiplicação por escalar e soma de vetores. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial, em especial:
- Distributividade do escalar em relação à soma de vetores:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Existência de inverso aditivo em
e em .
Passo 2
Para mostrar
, use a distributividade do escalar sobre a soma de vetores com
:
Mas
, logo
Somando o inverso aditivo de
em ambos os lados, obtemos
que é exatamente o que queríamos.
Passo 3
Para
, comece usando a distributividade em
:
Como
, o lado esquerdo é
. Portanto
Bastando então somar o inverso aditivo de
em ambos os lados, concluímos
Passo 4
Como caso particular do passo anterior, com
e
, obtemos
Passo 5
Para provar
, note que
. Então, pela distributividade do escalar sobre soma de vetores,
Mas
, e do passo 3 com
e
temos
. Logo
Resposta
As três propriedades foram demonstradas.