Esboce a região no espaço, delimitada pelo plano x+y=z e a esfera de equação x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce, em R^3, a região limitada pela esfera
x^2 + y^2 + z^2 = 1
e pelo plano
x + y = z
O conteúdo é geometria analítica em três dimensões: vamos achar a curva de interseção (que será um círculo) e perceber que o plano, passando pelo centro da esfera, divide o interior da esfera em duas “metades”.

Passo 2

Para encontrar a interseção substituímos z = x + y na equação da esfera:
x^2 + y^2 + (x+y)^2 = 1 Longrightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1 Longrightarrow x^2 + xy + y^2 = tfrac12
Como o plano passa pelo ponto (0,0,0), esse corte é um círculo máximo (great circle) da esfera de raio 1.

Passo 3

O plano x+y=z divide o espaço em duas metades:
x + y >= z e x + y <= z
A região pedida é a parte do interior da esfera num desses lados do plano. Como o plano atravessa o centro, essa região é uma meia-esfera inclinada.
Em forma de conjunto:
(x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1,;x+y >= z

Passo 4

Para esboçar:
  1. Desenhe a esfera de raio 1 centrada na origem.
  2. Trace o plano diagonal com vetor normal (1,1,-1), que corta a esfera passando pelo centro.
  3. Marque a circunferência de interseção (um círculo de raio 1 nessa “fatia”).
  4. Sombrite a parte da esfera que fica no lado x+y>= z (ou x+y<= z, conforme desejar), obtendo uma meia-esfera inclinada.

Resposta

O esboço é a esfera de raio 1 centrada na origem, cortada por um plano diagonal x+y=z que passa pelo centro. A curva de interseção é um círculo máximo, e a região limitada pelos dois é uma meia-esfera inclinada (por exemplo, x^2+y^2+z^2<=1,,x+y>= z).

Exercícios relacionados