Questão 6. Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
inverter a ordem de integração e calcular
O conteúdo envolve interpretação de região no plano, troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e uma integral que resulta simples após mudança de variável.
Passo 2
A região
em coordenadas
é descrita por
No plano
, isso é o conjunto limitado pelas retas
,
e pela reta
. Como
implica
, e
nunca é negativo (já que
), a região é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, fixamos
primeiro. Vemos que
varia de
até
. Para cada
nessa faixa,
varia de
até
. Assim a integral fica
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Logo
Passo 5
Fazemos a substituição
,
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Então