Questão 6. Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\ln 3}} \mathrm{e}^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3},\qquad \frac{y}{2}\le x \le \sqrt{\ln 3},
inverter a ordem de integração e calcular
I=\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y/2}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}} \,dx\,dy.
O conteúdo envolve interpretação de região no plano, troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e uma integral que resulta simples após mudança de variável.

Passo 2

A região R em coordenadas (x,y) é descrita por
0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3}, \quad \frac{y}{2}\le x \le \sqrt{\ln 3}.
No plano xy, isso é o conjunto limitado pelas retas y=0, x=\sqrt{\ln 3} e pela reta y=2x. Como x\ge y/2 implica y\le2x, e x nunca é negativo (já que y\ge0), a região é um triângulo com vértices em (0,0), \bigl(\sqrt{\ln3},0\bigr) e \bigl(\sqrt{\ln3},\,2\sqrt{\ln3}\bigr).

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos x primeiro. Vemos que x varia de 0 até \sqrt{\ln3}. Para cada x nessa faixa, y varia de y=0 até y=2x. Assim a integral fica
I=\int_{x=0}^{\sqrt{\ln3}}\;\int_{y=0}^{2x} e^{x^2}\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{2x} e^{x^2}\,dy = e^{x^2}\,\bigl[y\bigr]_{0}^{2x} =2x\,e^{x^2}.
Logo
I =\int_{0}^{\sqrt{\ln3}} 2x\,e^{x^2}\,dx.

Passo 5

Fazemos a substituição u = x^2, du = 2x\,dx. Quando x vai de 0 a \sqrt{\ln3}, u vai de 0 a \ln3. Então
I =\int_{u=0}^{\ln3} e^{u}\,du =\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{\ln3} =e^{\ln3}-e^{0} =3-1 =2.

Resposta

2

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