Questão 6. Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
\int_{0}^{1 / 16} \int_{y^{1 / 4}}^{1 / 2} \cos \left(16 \pi x^{5}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le\tfrac1{16},\;y^{1/4}\le x\le\tfrac12\},
inverter a ordem de integração na integral
\int_{0}^{1/16}\int_{y^{1/4}}^{1/2}\cos\bigl(16\pi x^{5}\bigr)\,dx\,dy,
e finalmente calcular o valor numérico. Vamos usar mudança de ordem de integração e, depois, substituição para avaliar a integral.

Passo 2

Para entender D, note que x\ge y^{1/4} equivale a y\le x^4. Como originalmente 0\le y\le 1/16 e x\le \tfrac12, a região também se descreve como
0\le x\le\tfrac12,\quad 0\le y\le x^4.
Assim, ao inverter a ordem, x varia de 0 a \tfrac12 e, para cada x, y varia de 0 a x^4.

Passo 3

A integral com ordem invertida fica
\int_{x=0}^{1/2}\int_{y=0}^{x^4}\cos\bigl(16\pi x^{5}\bigr)\,dy\,dx.
Integrando primeiro em y, como o integrando não depende de y, obtemos
\int_{0}^{1/2}\Bigl[x^4\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\Bigr]\,dx.

Passo 4

Agora calculamos
\int_{0}^{1/2}x^4\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx
por substituição. Seja u=16\pi x^5, então du=80\pi x^4\,dx, ou x^4\,dx=\tfrac{du}{80\pi}. Quando x=0 temos u=0 e quando x=\tfrac12 temos u=16\pi\bigl(\tfrac12\bigr)^5=\tfrac{\pi}{2}. Logo
\int_{0}^{1/2}x^4\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx =\frac{1}{80\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos(u)\,du =\frac{1}{80\pi}\Bigl[\sin(u)\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{1}{80\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{80\pi}

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