\int_{1}^{10} \int_{0}^{1 / y} y e^{x y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{10} \int_{0}^{1/y} y\,e^{x y}\,dx\,dy.
O conteúdo principal é o de integrais iteradas e primitiva de função exponencial em uma variável.

Passo 2

Primeiro, integramos em x, tratando y como constante:
\int_{0}^{1/y} y\,e^{x y}\,dx = y \int_{0}^{1/y} e^{x y}\,dx.
A primitiva de e^{x y} em relação a x é
\int e^{x y}\,dx = \frac{1}{y}e^{x y}.
Portanto,
y \int_{0}^{1/y} e^{x y}\,dx = y \left[\frac{1}{y}e^{x y}\right]_{0}^{1/y} = \bigl[e^{x y}\bigr]_{0}^{1/y} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

Passo 3

Substituindo esse valor na integral externa em y, obtemos
\int_{1}^{10} (e - 1)\,dy = (e - 1) \int_{1}^{10} dy = (e - 1)\bigl[y\bigr]_{1}^{10} = (e - 1)(10 - 1) = 9(e - 1).

Resposta

9(e - 1)

Exercícios relacionados