Inverta a ordem de integração.
integral0^pi4[integral0^tan (x) f(x, y) d y] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral0^pi4gl[integral0^tan(x)f(x,y),dygr]dx
O conteúdo aqui é integração dupla e a técnica de inversão de ordem exige que a gente entenda o domínio de integração
D = (x,y)mid 0 <= x <= tfracpi4,;0<= y<= tan(x)

Passo 2

Para inverter, descrevemos D trocando as variáveis:
  • Como x vai de 0 até tfracpi4, o valor máximo de y=tan(x) é tan(tfracpi4)=1. Logo y varia de 0 até 1.
  • A condição 0<= y<= tan(x) equivale a x>= arctan(y), mantendo também x<= tfracpi4. Portanto, para cada y fixo em [0,1], x percorre arctan(y)<= x<= tfracpi4.

Passo 3

Substituindo esses limites na ordem dy,dxto dx,dy, a integral fica
integraly=0^1integralx=arctan(y)^pi4f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integralarctan(y)^pi4f(x,y),dx,dy

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