Inverta a ordem de integração.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e depois reorganizar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a integral original:
Aqui, a integração interna é em relação a
, de
até
, e a externa é em relação a
, de 0 a 1.
Passo 3
Para inverter a ordem, precisamos desenhar a região de integração no plano
. Vamos considerar os limites de
de 0 a 1. Para cada
,
varia de
até
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
. A equação de
pode ser reescrita como
, e
fica
.
Passo 5
Determinar os novos limites de
. Vamos ver quando
,
, e quando
,
. Então,
varia de
até
.
Passo 6
Agora, para cada
nesse intervalo,
varia de
até
. Isso porque
é o limite inferior e
é o limite superior.
Passo 7
Com esses novos limites, a ordem de integração invertida fica assim:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é: