Inverta a ordem de integração.
  • integral0^1[integrale^y-1^e^y f(x, y) d x] d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e depois reorganizar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a integral original:
integral0^1[integrale^y-1^e^y f(x, y) , dx] dy
Aqui, a integração interna é em relação a x, de e^y-1 até e^y, e a externa é em relação a y, de 0 a 1.

Passo 3

Para inverter a ordem, precisamos desenhar a região de integração no plano xy. Vamos considerar os limites de y de 0 a 1. Para cada y, x varia de e^y-1 até e^y.

Passo 4

Agora, vamos expressar y em termos de x. A equação de x = e^y-1 pode ser reescrita como y = ln(x) + 1, e x = e^y fica y = ln(x).

Passo 5

Determinar os novos limites de x. Vamos ver quando y = 0, x = e^-1 = 1e, e quando y = 1, x = e^1 = e. Então, x varia de 1e até e.

Passo 6

Agora, para cada x nesse intervalo, y varia de ln(x) até ln(x) + 1. Isso porque y = ln(x) é o limite inferior e y = ln(x) + 1 é o limite superior.

Passo 7

Com esses novos limites, a ordem de integração invertida fica assim:
integral1e^e [ integralln(x)^ln(x) + 1 f(x, y) , dy ] dx

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral1e^e [ integralln(x)^ln(x) + 1 f(x, y) , dy ] dx

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