Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em cada caso:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
e pede para (a) esboçar a região de integração no plano
e (b) inverter a ordem de integração. O conteúdo é cálculo de integrais duplas e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Para esboçar a região, note que
vai de
a
e, para cada
,
vai de
até
. As fronteiras são:
,
,
e
.
No plano isso é um “facho” que se abre a partir da origem, limitado à direita por
, entre as retas
e
.
No plano
Passo 3
Para inverter a ordem, resolvemos as equações das retas para
:
A região vai de
até
. Mas a reta
só intercepta
quando
. Logo dividimos em dois sub-intervalos de
:
- Para
, a condição é mais restritiva que , então . - Para
, a condição é mais restritiva, então .
Passo 4
Reescrevendo a integral em ordem
e somando os dois trechos em
, obtemos: