Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em cada caso:
integral0^1 integralx^3 x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
integral0^1integralx^3xf(x,y),dy,dx
e pede para (a) esboçar a região de integração no plano xy e (b) inverter a ordem de integração. O conteúdo é cálculo de integrais duplas e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Para esboçar a região, note que x vai de 0 a 1 e, para cada x, y vai de y=x até y=3x. As fronteiras são:
,x=0, ,x=1, ,y=x e ,y=3x.
No plano xy isso é um “facho” que se abre a partir da origem, limitado à direita por x=1, entre as retas y=x e y=3x.

Passo 3

Para inverter a ordem, resolvemos as equações das retas para x:
y=ximplies x=y, y=3ximplies x=y3
A região vai de ymin=0 até ymax=3. Mas a reta x=y só intercepta x=1 quando y=1. Logo dividimos em dois sub-intervalos de y:
  • Para 0<= y<=1, a condição x<= y é mais restritiva que x<=1, então xinl[tfracy3,,yr].
  • Para 1<= y<=3, a condição x<=1 é mais restritiva, então xinl[tfracy3,,1r].

Passo 4

Reescrevendo a integral em ordem dy,dxto dx,dy e somando os dois trechos em y, obtemos:
integral0^1integraly3^yf(x,y),dx,dy ;+; integral1^3integraly3^1f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integraly3^yf(x,y),dx,dy ;+; integral1^3integraly3^1f(x,y),dx,dy

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