A respeito dos aspectos mais teóricos do Cálculo Diferencial:
a) Qual o significado de se calcular uma derivada?
b) Qual a relação entre derivadas e taxa de variação?
c) Qual a relação entre limites e derivadas?
a) Qual o significado de se calcular uma derivada?
b) Qual a relação entre derivadas e taxa de variação?
c) Qual a relação entre limites e derivadas?
Passo 1
O enunciado pede uma revisão teórica de pontos centrais do Cálculo Diferencial:
- a) o que significa calcular a derivada de uma função;
- b) como a derivada se relaciona com taxa de variação;
- c) qual a conexão entre limites e derivadas.
Passo 2
Para responder a) começamos lembrando que, em termos geométricos, a derivada de uma função
num ponto
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
. Em termos de taxa de variação instantânea, é a “velocidade” com que
muda quando
sofre um pequeno incremento. Formalmente, define-se
desde que esse limite exista. Então, calcular uma derivada é avaliar esse limite de quociente de diferenças.
Passo 3
Para b) observamos que o quociente
é a taxa média de variação de
em
. Quando fazemos
, passamos da taxa média para a taxa instantânea. Ou seja,
Portanto, a derivada é a ferramenta que mede como uma grandeza varia por unidade de variação na variável independente, num sentido local.
Passo 4
Para c) a ligação com limites é direta: a própria definição de derivada é um limite do quociente de diferenças. Sem a noção de limite não há derivada. Além disso, a existência do limite
implica que
é contínua em
(mas o recíproco não vale sempre). Assim, limites e derivadas estão intimamente conectados: limites formalizam o procedimento de “fazer
ficar muito pequeno” para captar a variação instantânea.
Resposta
a) Calcular uma derivada de
em
significa avaliar o limite do quociente de diferenças
ou geometricamente obter o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
.
b) A derivada representa a taxa de variação instantânea de , pois é o limite da taxa média
quando
.
c) A definição de derivada usa explicitamente limites; a existência de exige que o limite do quociente de diferenças exista, e garante continuidade de
em
.
b) A derivada representa a taxa de variação instantânea de
c) A definição de derivada usa explicitamente limites; a existência de