A respeito dos aspectos mais teóricos do Cálculo Diferencial:
a) Qual o significado de se calcular uma derivada?
b) Qual a relação entre derivadas e taxa de variação?
c) Qual a relação entre limites e derivadas?

Passo 1

O enunciado pede uma revisão teórica de pontos centrais do Cálculo Diferencial:
  • a) o que significa calcular a derivada de uma função;
  • b) como a derivada se relaciona com taxa de variação;
  • c) qual a conexão entre limites e derivadas.

Passo 2

Para responder a) começamos lembrando que, em termos geométricos, a derivada de uma função f num ponto x é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em x. Em termos de taxa de variação instantânea, é a “velocidade” com que f(x) muda quando x sofre um pequeno incremento. Formalmente, define-se
f'(x) = limhto0f(x+h)-f(x)h,
desde que esse limite exista. Então, calcular uma derivada é avaliar esse limite de quociente de diferenças.

Passo 3

Para b) observamos que o quociente f(x+h)-f(x)h é a taxa média de variação de f em [x,x+h]. Quando fazemos hto0, passamos da taxa média para a taxa instantânea. Ou seja,
derivada = limhto0l(taxa médiar) = taxa instantânea éâ
Portanto, a derivada é a ferramenta que mede como uma grandeza varia por unidade de variação na variável independente, num sentido local.

Passo 4

Para c) a ligação com limites é direta: a própria definição de derivada é um limite do quociente de diferenças. Sem a noção de limite não há derivada. Além disso, a existência do limite
limhto0f(x+h)-f(x)h
implica que f é contínua em x (mas o recíproco não vale sempre). Assim, limites e derivadas estão intimamente conectados: limites formalizam o procedimento de “fazer h ficar muito pequeno” para captar a variação instantânea.

Resposta

a) Calcular uma derivada de f em x significa avaliar o limite do quociente de diferenças
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
ou geometricamente obter o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em x.
b) A derivada representa a taxa de variação instantânea de f, pois é o limite da taxa média tfracf(x+h)-f(x)h quando hto0.
c) A definição de derivada usa explicitamente limites; a existência de f'(x) exige que o limite do quociente de diferenças exista, e garante continuidade de f em x.

Exercícios relacionados