Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
Passo 1
O enunciado pede para trocar a ordem de integração da iterada
Isso envolve o conteúdo de integrais duplas e o Teorema de Fubini. Vamos precisar esboçar a região
e encontrar os novos limites.
Passo 2
Primeiro esboçamos a região
no plano
: as retas
e
cortam o eixo
em
e
. Para cada
entre 0 e 1,
varia de
(reta inferior) até
(reta superior). O resultado é um ‘setor’ triangular que vai de
até
e até
.
Passo 3
Para inverter a ordem, identificamos o intervalo de
: de
até
. Para um
fixo, as desigualdades
e
dão
porém lembrando que
não pode exceder 1, obtemos dois subcasos:
- Se
, então e o teto é . - Se
, então mas domina, então o teto é .
Passo 4
Com isso escrevemos a integral invertida em duas partes: para
e
.