Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
integral0^1 integralx^3 x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para trocar a ordem de integração da iterada
integral0^1!integralx^3xf(x,y),dy,dx
Isso envolve o conteúdo de integrais duplas e o Teorema de Fubini. Vamos precisar esboçar a região
D=(x,y):0<= x<=1,;x<= y<=3x e encontrar os novos limites.

Passo 2

Primeiro esboçamos a região D no plano xy: as retas y=x e y=3x cortam o eixo x em x=0 e x=1. Para cada x entre 0 e 1, y varia de y=x (reta inferior) até y=3x (reta superior). O resultado é um ‘setor’ triangular que vai de (0,0) até (1,1) e até (1,3).

Passo 3

Para inverter a ordem, identificamos o intervalo de y: de ymin=0 até ymax=3. Para um y fixo, as desigualdades x<= y e y<=3x dão
y3<= x<= y
porém lembrando que x não pode exceder 1, obtemos dois subcasos:
  • Se 0<= y<=1, então y<=1 e o teto é x<= y.
  • Se 1, então y>1 mas x<=1 domina, então o teto é x<=1.

Passo 4

Com isso escrevemos a integral invertida em duas partes: para yin[0,1] e yin[1,3].

Resposta

integral0^1integraly3^yf(x,y),dx,dy +integral1^3integraly3^1f(x,y),dx,dy

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