Exercício 4: Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e, em seguida, aplicar uma substituição simples em uma integral de função exponencial.
Passo 2
Precisamos descrever a região de integração
Para trocar a ordem, identificamos que sobre
temos
e
. Da condição
vêm
. Como
e
, ao variar
de
até
, vemos que
vai de
até
.
Passo 3
Trocando a ordem de integração, obtemos
[
\int_{0}{1}\int_{2y}{2}4e{x{2}},dx,dy
\int_{x=0}{2}\int_{y=0}{x/2}4e{x{2}},dy,dx.
]
]
Passo 4
Na integral interna em
o integrando
não depende de
, então
Logo a integral fica
Passo 5
Para integrar
, fazemos a substituição
, então
. Os limites vão de
até
. Assim