Exercício 4: Calcule integral0^1 integral2 y^2 4 e^x^2 d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral2y^24e^x^2,dx,dy
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e, em seguida, aplicar uma substituição simples em uma integral de função exponencial.

Passo 2

Precisamos descrever a região de integração
R = (x,y)mid 0<= y<=1,;2y<= x<=2
Para trocar a ordem, identificamos que sobre temos e . Da condição vêm . Como e , ao variar de até , vemos que vai de até .

Passo 3

Trocando a ordem de integração, obtemos
[
\int_{0}{1}\int_{2y}{2}4e{x{2}},dx,dy

\int_{x=0}{2}\int_{y=0}{x/2}4e{x{2}},dy,dx.
]

Passo 4

Na integral interna em integraly=0^x/24e^x^2,dy =4e^x^2l[yr]0^x/2 =4e^x^2cdotx2 =2x,e^x^2 o integrando integral0^22x,e^x^2,dx não depende de , então
Logo a integral fica

Passo 5

Para integrar integral0^22x,e^x^2,dx =integral0^4e^u,du =l[e^ur]0^4 =e^4-1 , fazemos a substituição , então . Os limites vão de até . Assim

Resposta

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