Exercício 8: Encontre o volume do sólido W limitado pelas superfícies z=1-y^2, z >= 0, x=0, z=0 e x-y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
, , , e .
O conteúdo aqui é cálculo de volume via integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para montar a integral, identificamos a projeção y^2<=1Longrightarrow -1<= y<=1 de 0<= x<= y+2 no plano D=(x,y)mid -1<= y<=1,;0<= x<= y+2 .
Da condição temos
As faces e dão
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Passo 3

Escrevemos a integral tripla para o volume:
V=integral triplaWdV =integraly=-1^1!integralx=0^y+2!integralz=0^1-y^2dz,dx,dy
Integrando primeiro em V =integral-1^1!integral0^y+2(1-y^2),dx,dy =integral-1^1(1-y^2)(y+2),dy , obtemos

Passo 4

Expandimos o integrando em (1-y^2)(y+2)=-y^3-2y^2+y+2 :
V =integral-1^1(-y^3-2y^2+y+2),dy =l[-tfracy^44-tfrac2y^33+tfracy^22+2yr]-1^1 =83
Assim

Resposta

O volume de é .

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