Sejam
A & =x in R ;-2 <= x <= 2 B & =x in R ; x<0 C & =[0,1) D & =x in R ; x^2+1 <= 0 E & =[-1,3)
Determine os intervalos representados por:
[(B cap D) cup C]-E

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem alguns conjuntos numerados de A a E e precisamos descobrir qual é o intervalo representado por [(B cap D) cup C] - E.
Matéria envolvida: Operações com conjuntos (interseção, união e diferença de conjuntos).
O que vamos precisar: Entender o que cada conjunto representa e aplicar as operações passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada conjunto:
  • B = x in R ; x < 0: Todos os números reais menores que 0.
  • D = x in R ; x^2 + 1 <= 0: Aqui, queremos os números reais cujo quadrado mais 1 é menor ou igual a zero.
Agora, vamos analisar o conjunto D. A equação x^2 + 1 <= 0 significa que o quadrado de um número real somado a 1 é menor ou igual a zero. Mas sabemos que x^2 é sempre não negativo ( x^2 >= 0), então x^2 + 1 >= 1. Isso nunca será menor ou igual a zero. Então, não existe nenhum número real que satisfaça essa condição.
Portanto, D = emptyset (conjunto vazio).

Passo 3

Agora, vamos calcular a interseção B cap D:
B cap D = emptyset
Porque D é o conjunto vazio, a interseção com qualquer conjunto também será vazia.

Passo 4

Em seguida, vamos fazer a união de B cap D com C:
(B cap D) cup C = emptyset cup [0,1) = [0,1)
A união com o conjunto vazio não muda o conjunto original, então permanecemos com [0,1).

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença entre [(B cap D) cup C] e E:
[0,1) - [-1,3) = [0,1) setminus [-1,3)
A diferença de conjuntos A setminus B inclui todos os elementos que estão em A mas não em B. Aqui, [0,1) está completamente contido em [-1,3), então não sobra nenhum elemento.

Passo 6

Portanto, a diferença é o conjunto vazio:
[0,1) - [-1,3) = emptyset

Resposta

[(B cap D) cup C] - E = emptyset

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