Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^1 integraly^2^2-y f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração da integral
integral0^1integraly^2^2-yf(x,y),dx,dy
Estamos estudando troca de ordem em integrais duplas. Para resolver, vamos identificar a região
R=l(x,y)mid 0<= y<=1,;y^2<= x<=2-yr,
desenhar os contornos x=y^2 e x=2-y, achar seus pontos de interseção e, finalmente, reescrever a integral com dy,dx.

Passo 2

As fronteiras de R são a parábola
x=y^2
e a reta
x=2-y
Para encontrar a interseção, igualamos
y^2=2-y Longrightarrow y^2+y-2=0 Longrightarrow y=1 ou y=-2
Como 0<= y<=1, ficamos com y=1 e então x=1. Logo, as curvas se cruzam em (1,1). A região está entre essas duas curvas e entre y=0 e y=1.

Passo 3

Para mudar a ordem, identificamos o intervalo de x. O menor x ocorre em y=0 na parábola: x=0. O maior ocorre em y=0 na reta: x=2. Assim 0<= x<=2.
Para cada x fixo, y deve satisfazer simultaneamente
y^2<= x Longrightarrow 0<= y<=raizx,
x<= 2-y Longrightarrow 0<= y<= 2-x
Portanto
0<= y<=minl(raizx,,2-xr)
O ponto onde raizx=2-x é x=1. Para 0<= x<=1 vale raizx<=2-x, e para 1<= x<=2 vale 2-x<=raizx.

Passo 4

Dividindo em dois subintervalos de x, a integral fica
integral0^1integraly^2^2-yf(x,y),dx,dy =integral0^1integral0^raizxf(x,y),dy,dx ;+; integral1^2integral0^2-xf(x,y),dy,dx

Resposta

integral0^1integraly^2^2-yf(x,y),dx,dy =integral0^1integral0^raizxf(x,y),dy,dx +integral1^2integral0^2-xf(x,y),dy,dx

Exercícios relacionados