Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração da integral
Estamos estudando troca de ordem em integrais duplas. Para resolver, vamos identificar a região
desenhar os contornos
e
, achar seus pontos de interseção e, finalmente, reescrever a integral com
.
Passo 2
As fronteiras de
são a parábola
e a reta
Para encontrar a interseção, igualamos
Como
, ficamos com
e então
. Logo, as curvas se cruzam em
. A região está entre essas duas curvas e entre
e
.
Passo 3
Para mudar a ordem, identificamos o intervalo de
. O menor
ocorre em
na parábola:
. O maior ocorre em
na reta:
. Assim
.
Para cada fixo,
deve satisfazer simultaneamente
Para cada
Portanto
O ponto onde
é
. Para
vale
, e para
vale
.
Passo 4
Dividindo em dois subintervalos de
, a integral fica