O valor médio de uma função
de
variáveis em um conjunto limitado
é
Determine o valor médio de cada uma das funções a seguir.
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- A função é
. - O domínio é
. - Pede-se: determinar o valor médio de
sobre , usando a fórmula do valor médio para :
Passo 2
Calcular a área de
. Como
é um retângulo com lados paralelos aos eixos, a área é o produto das extentes em
e
:
Portanto, neste caso o valor médio será numericamente igual à integral dupla de
sobre
, porque estamos dividindo pela área
.
Passo 3
Montar a integral dupla. Para um retângulo podemos usar integrais iteradas (Teorema de Fubini): a integral dupla sobre
pode ser escrita como uma integral iterada, por exemplo integrando primeiro em
e depois em
:
Explicação curta e prática: isso significa que para cada
fixo calculamos a integral em
no intervalo
, obtendo uma função de
, e depois integramos essa função em
de
a
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Integramos termo a termo:
Agora cada peça:
-
(Aqui é constante em relação a .) -
-
Somando:
Passo 5
Calcular a integral externa em
:
Calculemos cada uma:
Somando:
Agora somar as frações com denominador comum
:
Passo 6
Concluir o valor médio. Como
, tem-se
Pequeno incentivo: valeu a pena trabalhar termo a termo — integrar polinômios é quase sempre tranquila na prova se você organizar assim!