O valor médio de uma função f de n variáveis em um conjunto limitado D \subset \mathbb{R}^{n} é
\begin{gathered} f_{\text {med }}=\frac{1}{\operatorname{area}(D)} \iint_{D} f(x, y) d A, \quad \text { se } n=2 \\\ f_{\text {med }}=\frac{1}{\operatorname{volume}(D)} \iiint_{D} f(x, y, z) d V, \quad \text { se } n=3 \end{gathered}
Determine o valor médio de cada uma das funções a seguir.
f(x, y)=x^{2}+y^{3}+4, D=\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y^{3}+4.
  • O domínio é D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\;0\le y\le 1\}.
  • Pede-se: determinar o valor médio de f sobre D, usando a fórmula do valor médio para n=2:
f_{\text{med}}=\frac{1}{\operatorname{area}(D)}\iint_{D} f(x,y)\,dA.

Passo 2

Calcular a área de D. Como D é um retângulo com lados paralelos aos eixos, a área é o produto das extentes em x e y:
\operatorname{area}(D)=(2-1)\cdot(1-0)=1\cdot1=1.
Portanto, neste caso o valor médio será numericamente igual à integral dupla de f sobre D, porque estamos dividindo pela área 1.

Passo 3

Montar a integral dupla. Para um retângulo podemos usar integrais iteradas (Teorema de Fubini): a integral dupla sobre D pode ser escrita como uma integral iterada, por exemplo integrando primeiro em y e depois em x:
\iint_{D} f(x,y)\,dA=\int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=0}^{1} \bigl(x^{2}+y^{3}+4\bigr)\,dy\right)dx.
Explicação curta e prática: isso significa que para cada x fixo calculamos a integral em y no intervalo [0,1], obtendo uma função de x, e depois integramos essa função em x de 1 a 2.

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Integramos termo a termo:
\int_{y=0}^{1}\bigl(x^{2}+y^{3}+4\bigr)\,dy = \int_{0}^{1} x^{2}\,dy + \int_{0}^{1} y^{3}\,dy + \int_{0}^{1} 4\,dy.
Agora cada peça:
  • \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\,dy = x^{2}\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{1}=x^{2}\cdot(1-0)=x^{2}. (Aqui x^{2} é constante em relação a y.)
  • \displaystyle \int_{0}^{1} y^{3}\,dy=\bigl[\tfrac{y^{4}}{4}\bigr]_{0}^{1}=\tfrac{1^{4}}{4}-0=\tfrac{1}{4}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}4\,dy=4\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{1}=4\cdot(1-0)=4.
Somando:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+y^{3}+4\bigr)\,dy = x^{2}+\tfrac{1}{4}+4 = x^{2}+\tfrac{17}{4}.

Passo 5

Calcular a integral externa em x:
\int_{x=1}^{2}\left(x^{2}+\tfrac{17}{4}\right)dx = \int_{1}^{2} x^{2}\,dx + \int_{1}^{2} \tfrac{17}{4}\,dx.
Calculemos cada uma:
  • \displaystyle \int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{1}^{2} = \tfrac{2^{3}}{3}-\tfrac{1^{3}}{3}=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}.
  • \displaystyle \int_{1}^{2} \tfrac{17}{4}\,dx = \tfrac{17}{4}\cdot\bigl[x\bigr]_{1}^{2}=\tfrac{17}{4}\cdot(2-1)=\tfrac{17}{4}.
Somando:
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \tfrac{7}{3}+\tfrac{17}{4}.
Agora somar as frações com denominador comum 12:
\tfrac{7}{3}+\tfrac{17}{4}=\tfrac{28}{12}+\tfrac{51}{12}=\tfrac{79}{12}.

Passo 6

Concluir o valor médio. Como \operatorname{area}(D)=1, tem-se
f_{\text{med}}=\frac{1}{\operatorname{area}(D)}\iint_{D} f(x,y)\,dA = 1^{-1}\cdot \tfrac{79}{12}=\tfrac{79}{12}.
Pequeno incentivo: valeu a pena trabalhar termo a termo — integrar polinômios é quase sempre tranquila na prova se você organizar assim!

Resposta

\dfrac{79}{12}

Exercícios relacionados