Use coordenadas polares para calcular a integral dupla
integral duplaR e^-(x^2+y^2) d A, onde R é a região contida no círculo
x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular a integral de e^-(x^2+y^2) sobre a região R que é o círculo de raio 1, ou seja, x^2+y^2=1 . Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e utilizar as fórmulas apropriadas para integrais duplas nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas, um ponto é representado por (x, y) , mas em coordenadas polares, usamos (r, theta) , onde r é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo com o eixo positivo x . A relação entre elas é dada por:
x = r cos(theta) y = r sin(theta)
E a área diferencial em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta .

Passo 3

Vamos reescrever a função que queremos integrar e a região de integração em coordenadas polares. A função e^-(x^2+y^2) se torna e^-r^2 porque x^2 + y^2 = r^2 .
A região R é o círculo de raio 1, então r vai de 0 a 1, e theta vai de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaR e^-(x^2+y^2) , dA = integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos dA por r , dr , dtheta e mudamos os limites de integração para r de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a r :
integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr
Fazemos uma substituição simples: seja u = -r^2 , então du = -2r , dr ou -12 du = r , dr . A integral fica:
-12 integral0^-1 e^u , du = 12 ( e^0 - e^-1 ) = 12 ( 1 - 1e )

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 12 ( 1 - 1e ) , dtheta = 12 ( 1 - 1e ) integral0^2pi dtheta = 12 ( 1 - 1e ) cdot 2pi = pi ( 1 - 1e )

Resposta

A integral dupla vale pi ( 1 - 1e ) .

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