Use coordenadas polares para calcular a integral dupla
, onde
é a região contida no círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular a integral de
sobre a região
que é o círculo de raio 1, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e utilizar as fórmulas apropriadas para integrais duplas nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas, um ponto é representado por
, mas em coordenadas polares, usamos
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo com o eixo positivo
. A relação entre elas é dada por:
E a área diferencial em coordenadas polares é
.
Passo 3
Vamos reescrever a função que queremos integrar e a região de integração em coordenadas polares. A função
se torna
porque
.
A região
é o círculo de raio 1, então
vai de 0 a 1, e
vai de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, substituímos
por
e mudamos os limites de integração para
de 0 a 1 e
de 0 a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazemos uma substituição simples: seja
, então
ou
. A integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral dupla vale
.