Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Então calcule a área da região.
y=12-x^2, y=x^2-6

Passo 1

O enunciado nos dá duas parábolas
y = 12 - x^2
e
y = x^2 - 6
e pede a área da região limitada por elas. Vamos precisar achar os pontos de interseção, escolher integrar em x ou em y, desenhar um retângulo típico (largura e altura) e montar a integral apropriada.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
12 - x^2 = x^2 - 6
Reorganizando,
12 + 6 = 2x^2 Longrightarrow 2x^2 = 18 Longrightarrow x^2 = 9 Longrightarrow x = pm 3
Substituindo em qualquer das curvas dá y = 12 - 9 = 3. Logo, as interseções são (-3,3) e (3,3).

Passo 3

Observando o esboço, a região está para -3 <= x <= 3, e para cada x a “altura” do retângulo vai de
yinferior = x^2 - 6 até ysuperior = 12 - x^2 é
Assim o retângulo típico tem
– largura dx,
– altura
(12 - x^2) - (x^2 - 6) = 18 - 2x^2

Passo 4

A área da região é dada pela integral em x de altura times largura , isto é
A = integralx=-3^3 l[(12 - x^2) - (x^2 - 6)r],dx = integral-3^3 l(18 - 2x^2r),dx
Calculando:
integral (18 - 2x^2),dx = 18x - 2x^33
avaliado de -3 a 3:
l[18x - tfrac2x^33r]-3^3 = l(54 - 18r) - l(-54 + 18r) = 36 - (-36) = 72

Resposta

A área da região é 72.

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