Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
R=(x, y) in R^2 ; x^2-1 <= y <= x+1

Passo 1

O enunciado pede a área da região
R=(x,y)inR^2 mid x^2-1<= y<= x+1
O conteúdo aqui é “área entre curvas”. Para resolver, precisamos:
1. Encontrar os pontos de interseção entre as curvas y=x^2-1 (parábola) e y=x+1 (reta).
2. Determinar qual é a curva superior e qual é a inferior no intervalo de integração.
3. Calcular a área como
integralx=a^x=bl(topo(x)-fundo(x)r),dx

Passo 2

Para achar as interseções resolvemos
x^2-1 = x+1 Longrightarrow x^2 - x - 2 = 0 Longrightarrow (x-2)(x+1)=0
Assim, os pontos são x=-1 e x=2.

Passo 3

Para ver qual curva fica por cima, escolha um valor típico no intervalo [-1,2], por exemplo x=0:
yreta(0)=0+1=1, yparábola(0)=0^2-1=-1 á
Logo, a reta y=x+1 é a curva superior e a parábola y=x^2-1 é a inferior. A região está “entre” essas duas curvas de x=-1 a x=2.

Passo 4

Escrevemos a área A como
A = integralx=-1^2 l[(x+1) - (x^2-1)r],dx = integral-1^2 l(-x^2 + x + 2r),dx

Passo 5

Calculamos a antiderivada:
integral l(-x^2 + x + 2r),dx = -tfrac13x^3 + tfrac12x^2 +2x + C
Avalia-mos de -1 a 2:
l[-tfrac13x^3 + tfrac12x^2 +2xr]-1^2 = l(-tfrac83+2+4r) ;-;l(tfrac13+tfrac12-2r) = tfrac103 -l(-tfrac76r) = tfrac206 + tfrac76 = tfrac276 = tfrac92

Resposta

A área da região R é 92.

Exercícios relacionados