Se f(x)=x^2 N(1+x), encontre f^prime prime (1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2N(1+x)
e pede f''(1).
O conteúdo necessário é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Calculamos f'(x) usando a regra do produto em x^2 e N(1+x) e a regra da cadeia em N(1+x):
f'(x)=l(x^2r)',N(1+x)+x^2,l(N(1+x)r)' =2x,N(1+x)+x^2,N'(1+x),

Passo 3

Agora aplicamos a derivada mais uma vez para obter f''(x). Derivando termo a termo:
  • Para 2x,N(1+x), usamos produto e cadeia: ddxl(2x,N(1+x)r) =2,N(1+x)+2x,N'(1+x)
  • Para x^2,N'(1+x), também usamos produto e cadeia: ddxl(x^2,N'(1+x)r) =2x,N'(1+x)+x^2,N''(1+x)
Somando esses resultados,
f''(x)=2,N(1+x)+4x,N'(1+x)+x^2,N''(1+x)

Passo 4

Basta avaliar em x=1:
f''(1)=2,N(2)+4cdot1,N'(2)+1^2,N''(2) =2,N(2)+4,N'(2)+N''(2)

Resposta

f''(1)=2,N(2)+4,N'(2)+N''(2)

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