Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
R é a região de interseção dos círculos x^2+y^2=4 e (x-2)^2+(y-2)^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região R que é a interseção dos dois círculos de raio r=2 centrados em (0,0) e em (2,2). O conteúdo aqui é geometria de círculos: vamos achar os pontos de interseção, a distância entre centros e usar a fórmula da área de sobreposição (lente circular).

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos o sistema
x^2+y^2=4, (x-2)^2+(y-2)^2=4
Da segunda equação expandida vem
x^2+y^2-4x-4y+4=0
e, substituindo x^2+y^2=4, obtemos
4-4x-4y+4=0Longrightarrow x+y=2
Juntando com x^2+y^2=4 e substituindo y=2-x xin0,2, logo os pontos são (0,2) e (2,0).

Passo 3

A distância entre os centros (0,0) e (2,2) é
d=raiz(2-0)^2+(2-0)^2=raiz8=2raiz2

Passo 4

Em círculos iguais de raio r separados por d, o ângulo central de cada segmento é
theta = 2arccos!l(d2rr) = 2arccos!l(2raiz24r) = 2arccos!l(raiz22r) = pi2
A área de um desses segmentos é
Aseg = r^22,l(theta-sinthetar) = 42l(pi2-1r) = pi - 2

Passo 5

Como a região de interseção tem dois segmentos iguais, a área total é
A = 2,(pi - 2) = 2pi - 4

Resposta

2pi - 4

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