(a) Determine a função derivada e verifique se a função é diferenciável em . Justifique sua resposta com base na definição de derivada.
(b) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função definida por e precisa fazer duas coisas:
Parte (a): Encontrar a derivada dessa função, ou seja, , e ver se essa função é diferenciável em .
Parte (b): Descobrir a equação da reta tangente ao gráfico de quando .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e tangentes em cálculo. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Encontrando a derivada [f’(x)) e verificando a diferenciabilidade em .
Primeiro, vamos entender a função . A expressão é o valor absoluto de , que é:
Então, podemos reescrever (f(x)] de forma piecewise:
Agora, vamos derivar essas duas expressões separadamente.
Para [x > 0):
Para :
Então, a derivada pode ser escrita como:
Agora, vamos verificar o que acontece em (x = 0].
Para a função ser diferenciável em [x = 0), o limite da derivada à esquerda e à direita de 0 deve ser o mesmo e igual à derivada em 0.
Vamos calcular os limites:
Ambos os limites são iguais a 0. Agora, precisamos definir .
Pela definição de derivada:
Sabemos que:
Então,
E,
Portanto, .
Passo 3
Parte (b): Encontrando a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto onde x = 2 .
Primeiro, vamos encontrar o valor de f(2) :
f(2) = 2|2| = 2 times 2 = 4
Agora, precisamos da derivada f'(x) em x = 2 . Como 2 > 0 , usamos a derivada para x > 0 :
f'(x) = 2x f'(2) = 2 times 2 = 4
Agora, temos o ponto (2, 4) e a inclinação da reta tangente m = 4 .
A equação da reta tangente pode ser escrita na forma:
y = m(x - x0) + y0
Substituindo os valores:
y = 4(x - 2) + 4 y = 4x - 8 + 4 y = 4x - 4
Resposta
(a) A derivada da função é
f^prime(x) = 2x, & se x > 0 0, & se x = 0 -2x, & se x < 0
A função f é diferenciável em x = 0 .
(b) A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto onde x = 2 é