Resolva as integrais duplas
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} \frac{1}{1+y^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} \frac{1}{1+y^{2}} \,dx\,dy.
O conteúdo envolvido é integração iterada em duas variáveis. Vamos integrar primeiro em x (mantendo y fixo) e depois em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{y}^{1} \frac{1}{1+y^{2}} \,dx.
Como y é constante em relação a x, podemos tirar \tfrac{1}{1+y^{2}} fora da integral em x. Fica
\frac{1}{1+y^{2}}\int_{y}^{1} dx =\frac{1}{1+y^{2}}\bigl[x\bigr]_{x=y}^{x=1} =\frac{1-y}{1+y^{2}}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos uma integral simples em y:
\int_{0}^{1} \frac{1-y}{1+y^{2}} \,dy.

Passo 4

Para resolver \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1-y}{1+y^{2}}\,dy, separamos a fração:
\frac{1-y}{1+y^{2}} =\frac{1}{1+y^{2}}-\frac{y}{1+y^{2}}.
Logo,
\int_{0}^{1}\frac{1-y}{1+y^{2}}\,dy =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy -\int_{0}^{1}\frac{y}{1+y^{2}}\,dy.

Passo 5

Calculamos cada termo:
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy =\bigl[\arctan(y)\bigr]_{0}^{1} =\arctan(1)-\arctan(0) =\frac{\pi}{4}.
\int_{0}^{1}\frac{y}{1+y^{2}}\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2y}{1+y^{2}}\,dy =\frac{1}{2}\bigl[\ln(1+y^{2})\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\ln(2).
Portanto,
\int_{0}^{1}\frac{1-y}{1+y^{2}}\,dy =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln(2).

Resposta

\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln(2)

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