Questão 2 (2 pontos)
Seja \mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z k e seja f(x, y, z)=\|\mathbf{F}(x, y, z)\|. Mostre que \nabla(\ell n f)=\frac{\mathbf{F}}{f^{2}}

Passo 1

O enunciado dá \mathbf F(x,y,z)=x\,\mathbf i + y\,\mathbf j + z\,\mathbf k e define f(x,y,z)=\|\mathbf F(x,y,z)\|. Queremos mostrar que \nabla(\ln f)=\mathbf F/f^2. O que vamos usar: norma de vetor, gradiente e regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Então
\ln f=\ln\bigl(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\bigr) =\frac12\ln(x^2+y^2+z^2).

Passo 3

Pela regra da cadeia para gradiente vale
\nabla(\ln f)=\frac{1}{f}\,\nabla f.

Passo 4

Agora calculamos \nabla f. Como f=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}, tem-se
\nabla f =\frac12(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}\,\nabla(x^2+y^2+z^2) =\frac{1}{2f}(2x\,\mathbf i+2y\,\mathbf j+2z\,\mathbf k) =\frac{\mathbf F}{f}.

Passo 5

Substituindo em \nabla(\ln f)=\tfrac1f\,\nabla f obtemos
\nabla(\ln f) =\frac{1}{f}\,\frac{\mathbf F}{f} =\frac{\mathbf F}{f^2}.

Resposta

\nabla(\ln f)=\frac{\mathbf F}{f^2}.

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