Esboce a região do plano em cada item.
lx>0 y>0 x<2-y^2 x<5-y^2

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe a região do plano dada pelo sistema de desigualdades
x>0, y>0, x<2 - y^2, x<5 - y^2
Estamos no conteúdo de regiões definidas por inequações no plano. Para resolver, vamos identificar qual das curvas x=2-y^2 ou x=5-y^2 realmente “corta” a região junto com os eixos x=0 e y=0, e determinar os valores de y para os quais existe solução em x.

Passo 2

Compare as fronteiras x=2-y^2 e x=5-y^2. Para todo y vale
2 - y^2 ;<; 5 - y^2,
pois 2<5. Logo, a condição x<2-y^2 é sempre mais restritiva que x<5-y^2. Assim basta manter
x<2 - y^2

Passo 3

Também precisamos de x>0. Então, para existir algum x com
0 < x < 2 - y^2,
é necessário que 2 - y^2>0, ou seja
y^2 < 2 Longrightarrow 0 < y < raiz2
Portanto a região é
(x,y)mid 0<y<raiz2,;0<x<2 - y^2

Passo 4

Para esboçar, observe:
  • O eixo vertical y=0 e o eixo horizontal x=0 formam dois lados da região.
  • A curva x=2-y^2 (parábola virada para a esquerda) intercepta o eixo x em (2,0) e o eixo y em (0,raiz2).
  • A região fica no primeiro quadrante, à direita de x=0, acima de y=0, e “por baixo” da parábola x=2-y^2.

Resposta

A região é
(x,y)mid 0<y<raiz2,;0<x<2 - y^2,
ou seja, o interior do “triângulo curvo” no primeiro quadrante limitado pelos eixos e pela parábola x+y^2=2.

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