Esboce a região do plano em cada item.
ly>x^2 x>y^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região do plano dada pelo sistema
y > x^2, x > y^2
Aqui o conteúdo é interpretação de desigualdades no plano cartesiano e identificação das curvas de contorno (parabolas) e da região de interseção.

Passo 2

Identificamos as duas curvas de contorno:
  1. A curva y = x^2, uma parábola de “boca para cima”. A desigualdade y>x^2 é a região acima dessa parábola.
  2. A curva x = y^2, uma parábola de “boca para a direita”. A desigualdade x>y^2 é a região à direita dessa parábola.

Passo 3

Para entender onde essas duas regiões se sobrepõem, achamos seus pontos de interseção resolvendo
y = x^2 e x = y^2
Substituindo y=x^2 em x=y^2
x = (x^2)^2 = x^4 Longrightarrow x^4-x=0 Longrightarrow x(x^3-1)=0,
logo x=0 ou x=1. Isso gera os pontos (0,0) e (1,1).

Passo 4

Observamos que, em ambos os casos, as desigualdades impõem x>=0 e y>=0. A região pedida é, portanto, o “lente” formado entre as duas parábolas, no primeiro quadrante, limitado pelas curvas de (0,0) a (1,1).

Passo 5

No esboço:
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Trace a parábola y=x^2 e sombreie sua parte acima.
  • Trace a parábola x=y^2 e sombreie sua parte à direita.
  • A região válida é a interseção dessas duas sombras: um “lente” entre as curvas, conectando (0,0) a (1,1).

Resposta

A região é o conjunto de pontos do primeiro quadrante que estão acima da parábola y=x^2 e, ao mesmo tempo, à direita da parábola x=y^2. Geometricamente, é a região em forma de lente limitada pelos arcos de (0,0) a (1,1).

Exercícios relacionados