Esboce a região do plano em cada item.
ly<(x-5)^2+1 y>2-(x-3)^2 2<x<6

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região do plano definida por três desigualdades simultâneas. O conteúdo é geometria analítica de curvas e regiões planas: vamos usar o gráfico de parábolas e retas verticais para identificar a forma da região.

Passo 2

Identificamos as fronteiras das desigualdades:
– A curva
y = (x-5)^2 + 1
é uma parábola de concavidade para cima com vértice em (5,1).
– A curva
y = 2 - (x-3)^2
é uma parábola de concavidade para baixo com vértice em (3,2).
– As retas
x = 2 e x = 6
são as fronteiras verticais.

Passo 3

Determinamos o lado de cada curva que satisfaz a desigualdade:
y < (x-5)^2 + 1 significa a região abaixo da parábola de vértice (5,1).
y > 2 - (x-3)^2 significa a região acima da parábola de vértice (3,2).
2 < x < 6 restringe tudo a um “cortador vertical” entre as retas x=2 e x=6.

Passo 4

A região procurada é o conjunto de todos os pontos que estão simultaneamente:
  1. abaixo de y=(x-5)^2+1,
  2. acima de y=2-(x-3)^2,
  3. e com a coordenada x entre 2 e 6.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o vértice (5,1) e trace a parábola de concavidade para cima ,y=(x-5)^2+1.
  3. Marque o vértice (3,2) e trace a parábola de concavidade para baixo ,y=2-(x-3)^2.
  4. Desenhe as retas verticais x=2 e x=6.
  5. A região é o “corredor” aberto entre as duas parábolas, limitado lateralmente pelas retas, sem incluir as fronteiras (strict inequalities).

Resposta

A região é o conjunto aberto de pontos entre as parábolas
y=2-(x-3)^2 e y=(x-5)^2+1
com 2<x<6.

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