Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) O plano tangente;
x^2+y^2+z^2=3, P0(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície dada pela esfera
x^2+y^2+z^2=3
no ponto P0(1,1,1). Vamos tratar essa esfera como a superfície implícita
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3=0
e usar o fato de que o gradiente de F em P0 é normal ao plano tangente.

Passo 2

Calculemos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr) =(2x,2y,2z)

Passo 3

Avalie o gradiente em P0(1,1,1):
nabla F(1,1,1)=(2cdot1,2cdot1,2cdot1)=(2,2,2)
Esse vetor é normal ao plano tangente.

Passo 4

A equação do plano com normal (2,2,2) passando por (1,1,1) vem de
nabla F(1,1,1)cdotl((x,y,z)-(1,1,1)r)=0,
ou seja
2(x-1)+2(y-1)+2(z-1)=0
Simplificando,
x+y+z=3

Resposta

A equação do plano tangente é
x+y+z=3

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