Esboce a região do plano em cada item.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da região do plano dada pelo sistema
Aqui vamos usar o fato de que cada inequação define uma região acima ou abaixo de uma parábola. Precisamos:
– Identificar vértice e concavidade de cada parábola.
– Determinar onde elas se cruzam para saber o “tamanho” da região limitada.
– Desenhar e sombrear a parte que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.
– Identificar vértice e concavidade de cada parábola.
– Determinar onde elas se cruzam para saber o “tamanho” da região limitada.
– Desenhar e sombrear a parte que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.
Passo 2
Analise da parábola de baixo:
Isto é uma parábola com vértice em
e que abre para cima (coeficiente de
positivo). A inequação
é a região acima dessa parábola, mas não incluindo a própria curva.
Passo 3
Analise da parábola de cima:
que podemos reescrever como
. É uma parábola com vértice em
e que abre para baixo (coeficiente de
negativo). A inequação
é a região abaixo dessa parábola, excluindo a própria curva.
Passo 4
Interseção das duas curvas para determinar os limites em
. Igualamos
Expandindo e somando termos obtemos
As raízes são
Substituindo num dos lados, os pontos de interseção são
Passo 5
Esboço da região:
– Para entre
e
, a parábola de cima fica acima da de baixo.
– A região procurada é o “lente” entre essas curvas, ou seja, todos os pontos que satisfazem
– Para
– A região procurada é o “lente” entre essas curvas, ou seja, todos os pontos que satisfazem
No esboço, desenhe ambas as parábolas pontilhadas e faça um sombreado na região limitada por elas.
Resposta
A região é o conjunto
isto é, o “lente” formada entre a parábola que abre para cima com vértice em
e a que abre para baixo com vértice em
.