Esboce a região do plano em cada item.
ly>(x-5)^2-3 y<2-(x-3)^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região do plano dada pelo sistema
y > (x-5)^2 - 3, y < 2 - (x-3)^2
Aqui vamos usar o fato de que cada inequação define uma região acima ou abaixo de uma parábola. Precisamos:
– Identificar vértice e concavidade de cada parábola.
– Determinar onde elas se cruzam para saber o “tamanho” da região limitada.
– Desenhar e sombrear a parte que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.

Passo 2

Analise da parábola de baixo:
y = (x-5)^2 - 3
Isto é uma parábola com vértice em (5,-3) e que abre para cima (coeficiente de (x-5)^2 positivo). A inequação y>(x-5)^2-3 é a região acima dessa parábola, mas não incluindo a própria curva.

Passo 3

Analise da parábola de cima:
y = 2 - (x-3)^2
que podemos reescrever como y = -(x-3)^2 + 2. É uma parábola com vértice em (3,2) e que abre para baixo (coeficiente de (x-3)^2 negativo). A inequação y<2-(x-3)^2 é a região abaixo dessa parábola, excluindo a própria curva.

Passo 4

Interseção das duas curvas para determinar os limites em x. Igualamos
(x-5)^2-3 ;=; 2 - (x-3)^2
Expandindo e somando termos obtemos
(x-5)^2 + (x-3)^2 = 5 ;;Longrightarrow;; 2x^2 -16x +29 = 0
As raízes são
x = 16 pm raiz16^2 -4cdot2cdot292cdot2 =4 pm raiz62
Substituindo num dos lados, os pontos de interseção são
l(4-tfracraiz62,;1,949ldotsr) e l(4+tfracraiz62,;-2,949ldotsr)

Passo 5

Esboço da região:
– Para x entre 4-tfracraiz62 e 4+tfracraiz62, a parábola de cima fica acima da de baixo.
– A região procurada é o “lente” entre essas curvas, ou seja, todos os pontos que satisfazem
(x-5)^2-3 < y < 2-(x-3)^2
No esboço, desenhe ambas as parábolas pontilhadas e faça um sombreado na região limitada por elas.

Resposta

A região é o conjunto
l(x,y)mid 4-tfracraiz62<x<4+tfracraiz62,;(x-5)^2-3<y<2-(x-3)^2r,
isto é, o “lente” formada entre a parábola que abre para cima com vértice em (5,-3) e a que abre para baixo com vértice em (3,2).

Exercícios relacionados