Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) O plano tangente;
2 z-x^2=0, P0(2,0,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada implicitamente por 2z - x^2 = 0 no ponto P0(2,0,2). O conteúdo é derivadas parciais e gradiente para superfícies implícitas.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z) = 2z - x^2
A superfície é o conjunto (x,y,z)mid F(x,y,z)=0.

Passo 3

O gradiente de F é
nabla F(x,y,z) = l(partialx F,partialy F,partialz Fr) = (-2x,0,2)
No ponto P0(2,0,2) temos
nabla F(P0) = (-2cdot 2,,0,,2) = (-4,0,2)

Passo 4

O plano tangente a uma superfície implícita é dado por
nabla F(P0)cdot l((x,y,z)-P0r) = 0
Substituindo nabla F(P0)=(-4,0,2) e P0=(2,0,2) resulta
-4(x-2) + 0,(y-0) + 2(z-2) = 0
Simplificando,
-4x + 8 + 2z - 4 = 0 Longrightarrow -4x + 2z + 4 = 0 Longrightarrow -2x + z + 2 = 0

Resposta

-2x + z + 2 = 0

Exercícios relacionados