Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) O plano tangente;
x^2+2 x y-y^2+z^2=7, P0(1,-1,3)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
x^2+2xy-y^2+z^2=7
no ponto P0(1,-1,3). Vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente, que é normal ao plano, e depois aplicar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x^2+2xy-y^2+z^2
As derivadas parciais são
partial Fpartial x=2x+2y, partial Fpartial y=2x-2y, partial Fpartial z=2z
Logo,
nabla F(x,y,z)=(2x+2y,;2x-2y,;2z)
Em P0(1,-1,3) temos
nabla F(1,-1,3)=(2cdot1+2cdot(-1),;2cdot1-2cdot(-1),;2cdot3)=(0,4,6)

Passo 3

A equação do plano tangente com vetor normal nabla F(1,-1,3) é
nabla F(1,-1,3)cdotl((x,y,z)-(1,-1,3)r)=0
Isto é,
0,(x-1)+4,(y+1)+6,(z-3)=0
que se expande e simplifica para
4y+6z-14=0
ou, dividindo por 2,
2y+3z-7=0

Resposta

2y + 3z - 7 = 0

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