Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem:
R=\left\{(r, \theta) \in \mathrm{R}^{2} \mid 0 \leq r \leq 4,-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano cartesiano a região
R = \{(r,\theta)\mid 0 \le r \le 4,\;-\tfrac{\pi}{2}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2}\},
ou seja, em coordenadas polares com raio máximo 4 e ângulo entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}. Vamos usar a relação com coordenadas cartesianas para entender que forma geométrica isso representa.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.
Como -\tfrac{\pi}{2}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2}, temos \cos\theta\ge0, logo x\ge0. E 0\le r\le4 equivale a
x^2 + y^2 \;\le\; 4^2 = 16.
Portanto
R = \{(x,y)\mid x^2 + y^2 \le 16,\;x\ge0\},
que é o disco de raio 4 cortado pela reta x=0, tomando a parte com x\ge0.

Passo 3

Para esboçar, proceda assim:
  1. Desenhe o círculo de raio 4 centrado na origem.
  2. Trace a reta x=0 (eixo y).
  3. Sombreie a parte do disco que fica à direita do eixo y, incluindo a fronteira circular e o próprio eixo vertical.

Resposta

A região R é o semicírculo fechado de raio 4 situado no semiplano x\ge0, isto é, o disco de raio 4 centrado na origem limitado pela reta x=0 e preenchido à sua direita.

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