Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem:
R=\left\{(r, \theta) \in \mathrm{R}^{2} \mid r \leq 2,0 \leq \theta \leq \pi\right\}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no plano a região definida em coordenadas polares por
R = \{(r,\theta)\mid 0 \le \theta \le \pi,\;0 \le r \le 2\}.
Vamos usar o fato de que em coordenadas cartesianas x = r\cos\theta e y = r\sin\theta.

Passo 2

A condição r \le 2 em coordenadas cartesianas significa
x^{2} + y^{2} \le 4,
ou seja, todos os pontos dentro (e sobre) o círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

A condição 0 \le \theta \le \pi corresponde ao semiplano superior (incluindo o eixo x), pois \theta=0 é o eixo positivo x e \theta=\pi é o eixo negativo x, e valores intermediários varrem y\ge0.

Passo 4

A interseção dessas duas condições é o semicírculo de raio 2 no semiplano superior, incluindo a fronteira circular e o diâmetro sobre o eixo x.
Para esboçar, desenhe um círculo de raio 2 centrado na origem e sombreie apenas a parte com y\ge0. Marque a fronteira circular x^{2}+y^{2}=4 de \theta=0 até \theta=\pi e o diâmetro de (-2,0) a (2,0).

Resposta

A região R é o semicírculo de raio 2 no semiplano superior, ou seja,
\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4,\;y\ge0\}.

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