Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:
\left{ ld yd t=y(100-y) y(0)=1\right.

Passo 1

O problema é a equação diferencial ordinária de valor inicial \r
dydt=y,(100-y), y(0)=1, \r
que é uma equação logística. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e integração por frações parciais.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo \r
1y(100-y),dy = dt

Passo 3

Fazemos frações parciais em 1/[y(100-y)]. Observamos que \r
1y(100-y)=1100l(1y+1100-yr) \r
Integrando ambos os lados: \r
integral 1y(100-y),dy =1100integrall(1y+1100-yr)dy =1100l(ln|y|-ln|100-y|r) =t+C

Passo 4

Reescrevendo, temos \r
lny100-y=100,t+C', \r
onde C' é constante. Aplicando y(0)=1: \r
ln199=C'Longrightarrow C'=-ln 99

Passo 5

Logo \r
lny100-y=100,t-ln 99 Longrightarrow y100-y=e^100t99 \r
Isolando y: \r
y(t)=100,e^100t99+e^100t =1001+99,e^-100t \r
Como o denominador nunca se anula, a solução está definida para todo tin(-infty,infty).

Passo 6

Esboço do gráfico: curva em “S” (logística), que tende a 0 quando tto-infty, passa por (0,1), tem ponto de inflexão em t=(ln99)/100 com y=50, e se aproxima assintoticamente de 100 quando tto+infty.

Resposta

y(t)=1001+99,e^-100t, tin(-infty,infty)
Gráfico: curva logística com assimptotas em y=0 e y=100.

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