Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O problema é a equação diferencial ordinária de valor inicial \r
que é uma equação logística. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e integração por frações parciais.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo \r
Passo 3
Fazemos frações parciais em
. Observamos que \r
Integrando ambos os lados: \r
Passo 4
Reescrevendo, temos \r
onde
é constante. Aplicando
: \r
Passo 5
Logo \r
Isolando
: \r
Como o denominador nunca se anula, a solução está definida para todo
.
Passo 6
Esboço do gráfico: curva em “S” (logística), que tende a
quando
, passa por
, tem ponto de inflexão em
com
, e se aproxima assintoticamente de
quando
.
Resposta
Gráfico: curva logística com assimptotas em
e
.