Esboce a região e o solido obtido pela sua rotação em torno do eixo x dos seguinte conjuntos. Em seguida, calcule o seu volume.
1x <= y <= 1 e 1 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado define a região no plano dada por
tfrac1x<= y<=1 para 1<= x<=2 e pede o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x.
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos com furo (washers).

Passo 2

Para esboçar a região, desenhe o gráfico de y=1/x decrescente em [1,2] e a reta horizontal y=1.
O domínio em x vai de 1 a 2. A região fica entre a curva y=1/x (embaixo) e y=1 (em cima).

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, cada seção transversal perpendicular a x é um anel com
raio externo R(x)=1 e raio interno r(x)=tfrac1x.

Passo 4

Pelo método dos discos com furo, o volume é
V = pi integral1^2 l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pi integral1^2 l(1^2 - l(tfrac1xr)^2r),dx

Passo 5

Calcule a integral:
integral1^2l(1 - tfrac1x^2r)dx = integral1^21,dx ;-;integral1^2x^-2dx = l[xr]1^2 ;-;l[-x^-1r]1^2 = (2-1);-;l(-tfrac12+1r) = 1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 6

Multiplicando por pi, obtém-se
V = pi cdot tfrac12 = tfracpi2

Resposta

pi2

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