Seja o campo vetorial F=(x y, x z, raizx^2+y^2+z^2) e o ponto r0=(1,0,1).
(a) Compute F(r0) e represente-o como um vetor sobre o ponto r0 em R^3.
(b) Calcule nabla cdot F no mesmo ponto.
(c) Calcule nabla times F no mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial F(x,y,z)=(xy,,xz,,raizx^2+y^2+z^2) e o ponto r0=(1,0,1). Vamos precisar avaliar o campo diretamente em r0, calcular o divergente nablacdotF e o rotacional nablatimesF usando derivadas parciais.

Passo 2

Para calcular F(r0), substituímos (x,y,z)=(1,0,1). Então: xy=1cdot0=0, xz=1cdot1=1 e raizx^2+y^2+z^2=raiz2. Logo,

Passo 3

F(r0)=(0,,1,,raiz2)

Passo 4

que representa uma seta com essas componentes partindo de (1,0,1) em R^3.

Passo 5

O divergente é dado por

Passo 6

nablacdotF=partialpartial x(xy)+partialpartial y(xz)+partialpartial z(raizx^2+y^2+z^2)

Passo 7

Calculando cada termo: partialpartial x(xy)=y, partialpartial y(xz)=0 e utilizando

Passo 8

partialpartial zraizx^2+y^2+z^2=zraizx^2+y^2+z^2,

Passo 9

temos

Passo 10

nablacdotF=y+zraizx^2+y^2+z^2

Passo 11

Em (1,0,1) isso vale

Passo 12

0+1raiz2=1raiz2

Passo 13

O rotacional é

Passo 14

nablatimesF=l(partial F3partial y-partial F2partial z,,partial F1partial z-partial F3partial x,,partial F2partial x-partial F1partial yr)

Passo 15

Calculando as derivadas parciais:

Passo 16

partial F3partial y=yraizx^2+y^2+z^2, partial F2partial z=x,

Passo 17

partial F1partial z=0, partial F3partial x=xraizx^2+y^2+z^2,

Passo 18

partial F2partial x=z, partial F1partial y=x

Passo 19

Logo

Passo 20

nablatimesF=l(yraizx^2+y^2+z^2-x,,-xraizx^2+y^2+z^2,,z-xr)

Passo 21

Em (1,0,1) isso dá

Passo 22

l(0-1,,-tfrac1raiz2,,1-1r)=(-1,,-tfrac1raiz2,,0)

Resposta

a) F(r0)=(0,1,raiz2). b) nablacdotF(r0)=tfrac1raiz2. c) nablatimesF(r0)=l(-1,-tfrac1raiz2,0r).

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