Questão 4 (12 pontos). Considere o sistema linear: & x+y+a z=a & a x+y+5 z=1 & x-y-z=0.
(a) Determine os valores possíveis de a para que o sistema tenha solução única.
(b) Determine se o sistema tem solução com a=3.
(c) Resolva o sistema com a=1.

Passo 1

O problema nos dá um sistema de três equações lineares em (x,y,z) com um parâmetro a e pede: (a) quando existe solução única, (b) o que acontece em a=3 e (c) resolver em a=1. Vamos usar determinante para única solução e substituição para verificar consistência.

Passo 2

O critério de existência de solução única para um sistema 3×3 é que o determinante da matriz dos coeficientes seja não nulo. Montamos a matriz dos coeficientes:
M=1 & 1 & a a & 1 & 5 1 & -1 & -1
Calculamos det(M) por desenvolvimento na primeira linha:
det(M)=1cdot1 & 5 -1 & -1-1cdota & 5 1 & -1+acdota & 1 1 & -1
Cada menor dá 4, -a-5 e -a-1, então
det(M)=4 -(-a-5) + a(-a-1)=4+a+5 -a^2 -a=9 -a^2
Logo o sistema tem solução única se 9-a^2neq0, ou seja aneq3 e aneq-3.

Passo 3

Para a=3 temos det(M)=0, então pode não haver solução ou haver infinitas. Substituímos em cada equação:
  1. x+y+3z=3
  2. 3x+y+5z=1
  3. x-y-z=0.
    Da (3) vem x=y+z. Inserindo em (1): 2y+4z=3 ou y=3/2-2z e x=3/2 -z. Em seguida, na (2):
3(3/2 -z)+(3/2-2z)+5z =6neq1,
logo chegamos à contradição 6=1. Portanto, para a=3 o sistema é impossível (não tem solução).

Passo 4

Para a=1 temos det(M)=9-1=8neq0, solução única. As equações viram:
  1. x+y+z=1
  2. x+y+5z=1
  3. x-y-z=0.
    Subtraindo (2)-(1) obtemos 4z=0 então z=0. Da (3) vem x=y e da (1) 2x=1 então x=y=1/2.

Passo 5

Aí está tudo resolvido!

Resposta

(a) há solução única se a≠3 e a≠−3. (b) para a=3 o sistema é impossível (não tem solução). (c) para a=1, a solução única é x=1/2, y=1/2, z=0.

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