Questão.(2,0 pontos) Encontre a solução geral da equação diferencial ordinária linear de
ordem não homogênea dada por
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homogênea:
Vamos resolver ela encontrando a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como encontrar soluções para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Essa equação homogênea nos dá a base para a solução geral.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, criamos a equação característica associada, substituindo
por
,
por
e
por 1:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Encontramos uma raiz dupla
, o que significa que as soluções são linearesmente dependentes.
Passo 5
Com a raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Passo 6
Agora, precisamos achar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o termo não homogêneo é
e já está presente na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular na forma:
Isso evita a duplicação com a solução homogênea e nos permite encontrar
.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Então,
e
.
Passo 8
Agora que encontramos
, a solução particular é:
Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: