a Questão.(2,0 pontos) Encontre a solução geral da equação diferencial ordinária linear de 2^a ordem não homogênea dada por
y'' - 2y' + y = e^t

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homogênea:
Vamos resolver ela encontrando a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como encontrar soluções para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Essa equação homogênea nos dá a base para a solução geral.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, criamos a equação característica associada, substituindo por , por e por 1:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Encontramos uma raiz dupla , o que significa que as soluções são linearesmente dependentes.

Passo 5

Com a raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Passo 6

Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o termo não homogêneo é e já está presente na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular na forma:
Isso evita a duplicação com a solução homogênea e nos permite encontrar .

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Então, e .

Passo 8

Agora que encontramos , a solução particular é:
Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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