Esboce a saída de um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t)=u(t+1)-2 u(t)+u(t-1)
para as seguintes entradas:
x(t)=u(t)-u(t-1)

Passo 1

O enunciado pede a saída y(t) de um sistema LTI cuja resposta ao impulso é
h(t)=u(t+1)-2,u(t)+u(t-1)
quando a entrada é
x(t)=u(t)-u(t-1)
Conteúdo: convolução em tempo contínuo. Vamos usar
y(t)=x(t)ast h(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau
e explorar que x(tau)=1 só em 0<=tau<1.

Passo 2

Como x(tau)=0 fora de [0,1), a integral reduz-se a
y(t)=integral0^1h(t-tau),dtau

Passo 3

Escrevendo
h(t-tau)=u(t-tau+1)-2,u(t-tau)+u(t-tau-1),
temos
y(t) =integral0^1u(t-tau+1),dtau -2integral0^1u(t-tau),dtau +integral0^1u(t-tau-1),dtau
Definimos
A1(t)=integral0^1u(t-tau+1),dtau, A2(t)=integral0^1u(t-tau),dtau, A3(t)=integral0^1u(t-tau-1),dtau,
então y(t)=A1(t)-2A2(t)+A3(t).

Passo 4

Cada [A_i(t)) é integral de um degrau, logo resulta em função peça-por-peça:
  1. Para :
  2. Para (A_2(t)=\int_{0}^{1}u(t-\tau),d\tau]:
  3. Para :

Passo 5

Agora
y(t)=A1(t)-2A2(t)+A3(t),
logo, peça-por-peça:
y(t)= 0, & t< -1, (t+1)-2cdot 0+0 = t+1, & -1<= t<= 0, 1 -2,t +0 = 1-2t, & 0<= t<= 1, 1 -2cdot1 +(t-1) = t-2, & 1<= t<= 2, 1 -2cdot1 +1 =0, & t>= 2
Geometricamente, y(t) é uma função peça-por-peça linear que:
– cresce de 0 em t=-1 até y=1 em t=0 (reta de inclinação +1);
– decresce de y=1 em t=0 até y=-1 em t=1 (reta de inclinação -2);
– sobe de y=-1 em t=1 até 0 em t=2 (reta de inclinação +1);
– e é zero fora de [-1,2].

Resposta

y(t)= 0, & t< -1, t+1, & -1<= t<= 0, 1-2t, & 0<= t<= 1, t-2, & 1<= t<= 2, 0, & t>= 2
O esboço é uma peça-por-peça linear conforme descrito acima.

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