Utilize o processo de integração por substituição trigonométrica para resolver as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a integral usando o processo de substituição trigonométrica. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente das técnicas de integração que ajudam a resolver integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar substituições trigonométricas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos uma expressão , onde . Esse tipo de expressão sugere que podemos usar a substituição trigonométrica . Essa substituição ajuda a transformar a raiz quadrada em uma função trigonométrica que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Com isso, o diferencial fica:
Passo 4
Substituindo na integral original:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral:
Passo 6
A integral de é uma função padrão. Sabemos que:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos voltar à variável original . Sabemos que:
Desenhando um triângulo retângulo onde o cateto oposto é e o cateto adjacente é , a hipotenusa será: