Utilize o processo de integração por substituição trigonométrica para resolver as integrais a seguir.
integral raizx^2+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a integral integral raizx^2+5 , dx usando o processo de substituição trigonométrica. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente das técnicas de integração que ajudam a resolver integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar substituições trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos uma expressão raizx^2 + a^2, onde a = raiz5. Esse tipo de expressão sugere que podemos usar a substituição trigonométrica x = a tan theta. Essa substituição ajuda a transformar a raiz quadrada em uma função trigonométrica que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = raiz5 tan theta. Com isso, o diferencial dx fica:
dx = raiz5 sec^2 theta , dtheta

Passo 4

Substituindo x na integral original:
raizx^2 + 5 = raiz5 tan^2 theta + 5 = raiz5 (tan^2 theta + 1) = raiz5 raiztan^2 theta + 1 = raiz5 sec theta

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
integral raizx^2+5 , dx = integral raiz5 sec theta cdot raiz5 sec^2 theta , dtheta = 5 integral sec^3 theta , dtheta

Passo 6

A integral de sec^3 theta é uma função padrão. Sabemos que:
integral sec^3 theta , dtheta = 12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| + C
Portanto:
5 integral sec^3 theta , dtheta = 52 sec theta tan theta + 52 ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original x. Sabemos que:
x = raiz5 tan theta Rightarrow tan theta = xraiz5
Desenhando um triângulo retângulo onde o cateto oposto é x e o cateto adjacente é raiz5, a hipotenusa será:
raizx^2 + 5
Assim:
sec theta = hipotenusacateto adjacente = raizx^2 + 5raiz5
tan theta = xraiz5

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
52 sec theta tan theta = 52 cdot raizx^2 + 5raiz5 cdot xraiz5 = 52 cdot x raizx^2 + 55 = x raizx^2 + 52
E:
52 ln |sec theta + tan theta| = 52 ln | raizx^2 + 5raiz5 + xraiz5 | = 52 ln | raizx^2 + 5 + xraiz5 |
Podemos simplificar ainda mais:
52 ln | raizx^2 + 5 + xraiz5 | = 52 ln |raizx^2 + 5 + x| - 52 ln raiz5
Como 52 ln raiz5 é uma constante, podemos absorvê-la na constante de integração C.

Passo 9

Finalmente, juntando tudo, a integral fica:
integral raizx^2+5 , dx = x raizx^2 + 52 + 52 ln |raizx^2 + 5 + x| + C

Resposta

A integral integral raizx^2+5 , dx é igual a:
x raizx^2 + 52 + 52 ln |raizx^2 + 5 + x| + C
Onde C é a constante de integração.

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